Как да нарисувате ръчно много манделброт: 9 стъпки

Манделбротът много се състои от точки, изградени върху сложен самолет Фрактал: поразителна форма или форма, в която всяка част всъщност е намалено копие от цялото. Невероятно ослепителни образи, скрити в множество манделброк, може да се разглежда в 1500-те години поради разбирането на Рафаел бомбено за въображаемите числа - но това не е, докато Benoit Mandelbrot и други не започнаха да изследват фрактали, използвайки компютър, използвайки компютър, така че Тайната на Вселената беше отворена.

Сега, когато знаем, че тя съществува, можем да го приближим по-първично: на ръка. Ето методът за разглеждане на грубата възпроизвеждане на конфигурацията, само за да се разбере как се прави - тогава ще получите по-дълбоко удовлетворение от визуализацията, какво можете да направите с много налични компютърни програми, или че можете да видите на CD или DVD.

Стъпка

един. Разберете основната формула, често се произнасяz = z + c. Това просто означава, че за всяка точка в вселената на Манделброт искаме да видим, ние продължаваме да изчисляваме Z,Докато едно от двете условия не се случва - тогава го нарисуваме, за да покажем колко изчисления направихме. Не се безпокой! След следващите стъпки ще стане ясно.

2. Вземете 3 многоцветни молив или счупени моливи или съвети от маркери и черен молив или писалка, за да направите контур.Причината, поради която искаме три цвята - ще направим първото сближаване на не повече от 3 повторения (пасажи, или, с други думи, използвайки формулата до 3 пъти в точката):

3. Черен маркер, нарисувайте големи лапарати на дъската, 3x3 метра, на лист хартия.

4. Етикет (също черен) средния площад (0, 0) `. Това е постоянна точка на точка - постоянна (`c`) точно в центъра на площада. Сега, да речем, всеки квадратни 2 единици по ширина, така че добавете и / или извадете 2 до / от стойностите на всеки квадрат Не и W , където Не Първи номер I W - втори. Когато се направи, ще изглежда така, че е показано тук. Всеки път, когато се придържате към клетката, стойностите на (второто число) трябва да са еднакви, когато следвате клетките надолу, стойностите на x (първи номер) трябва да бъдат еднакви.

пет. Изчислете първия пропуск или Повторение , Формул. Вие, като компютър (всъщност, първоначалното значение на думата беше "човек, който изчислява") Може да си направим себе си. Да започнем с тези предположения:

Първоначалната стойност на z всеки квадрат (0, 0). Когато абсолютната стойност Z за тази точка е по-голяма или равна на 2, тогава точката (и съответния квадрат), както се казва, Избягва Манделброт комплекти. Когато това се случи, ще рисувате квадрат в зависимост от броя на повторенията на формулата, която сте посочили по това време. Изображение, озаглавено 217503 5A

Изберете цветовете, които ще използвате за пропуски 1, 2 и 3. Да предположим, че това ще бъде червено, зелено и синьо, съответно, за целите на тази статия. Изображение, озаглавено 217503 5b

Изчислете z Стойността за горния ляв ъгъл на таговата платка, като приемете, че първоначалната стойност Z е 0 + 0i или (0, 0) (вижте съветите на секцията за по-добро разбиране на тези изображения). Ние използваме формулата z = z + c, Както е описано в първата стъпка. Бързо ще видите това в този случай,Z + Cпросто "с , Тъй като нула квадрат е просто нула. С какво `° С` е за тази област? (-2, 2). Изображение, озаглавено 217503 5C

Определете абсолютната стойност на тази точка абсолютна стойност на комплекса (A, B) е квадратен корен от A + B. Сега, тъй като ще го сравняваме с известно значение: "2 ` , можем да избегнем изчисляването на квадратния корен, сравняващ + B до 2, които знаем, е равно "4 ` .На това изчисление, a = -2 и b = 2. Изображение, озаглавено 217503 5D

([-2] + 2) =

(4 + 4) =

8, повече от 4.

Оказа се от множество манделбротия след първото изчисление, тъй като абсолютната му стойност е по-голяма от 2. Съберете го с молив, избран за поръчка. Изображение, озаглавено 217503 5E

Изображение, озаглавено Mandelbrot_set_419

Направете същото за всеки площад на дъската, с изключение на централния площад, който няма да бъде лишен от набор от манделброк в третия проход (и никога няма да бъде лишен). Така че, вие сте използвали само два цвята: цветът на първия постоянен от всички външни квадратчета, а третият цвят на мида за средната линия.

6. Нека опитаме квадратите 3 пъти повече , 9 до 9, но все още запазване на максимум 3 повторения.

7. Започнете от третия ред надолу, защото тук става интересен веднага.

Първият елемент (-2, 1) е по-голям от 2 (защото (-2) + 1stall 5), така че нека да нарисуваме едно червено, тъй като толюзира набор от манделброт на първия пропуск. Изображение, озаглавено 217503 7A

Втори елемент, (-1.5, 1) не повече от 2. Разчитане на формулата на абсолютното мнозинство, x + y, където x = -1.5 и y = 1: Изображение, озаглавено 217503 7B

(-оненен.5) = 2.25

1 = 1

2.25 + 1 = 3.25, по-малко от 4, така че квадратният корен е по-малък от 2.

По този начин се обръщаме към втория си проход, изчисляването на Z + C, използвайки пряк път (x-y, 2xy) за z (виж съвети секцията, за която се произвежда този пряк път), с x = -1.5 и y = 1: Изображение, озаглавено 217503 7C

(-оненен.5) - 1 става 2.25 - 1, което става един.25Шпакловка

2xy, където x-1.5 и Y 1, става 2 (-1.5), което е равно -3.0Шпакловка

Това ни дава Z от (1.25, -3)

Сега добави ° С към тази клетка (добавете x до x, y на y) получаваме (-0.25, -2)

Нека проверим дали е повече от 2 сега абсолютната стойност. Смятаме, че x + y: Image, озаглавен 217503 7D

(-.25) = .0625

-2 = 4

.0625 + 4 = 4.0625, чийто квадратно корен е по-голям от 2, той излиза след втория пасаж: първото ни зелено!

Тъй като сега сте запознати с изчисленията, понякога ще можете да кажете как човек може да избегне набор от манделброк, просто разглеждате числата. В този пример компонент Y има стойност 2, в която, когато стойността на друг номер на квадрата и квадрат е по-голям от 4. Всеки номер, по-голям от 4, ще има квадратен корен повече от 2. Вижте съветите по-долу за по-подробно обяснение.

Третият елемент със стойността (-1, 1) не избягва първия пасаж: където и 1, и -1 на квадрата - това е 1, x + y е 2. Така че ние смятаме z + c, използвайки етикет (x-y, 2xy), където z: Изображение, озаглавено 217503 7E

(-1) -1 става 1-1, което е 0;

2xy след това2 (-1) = -2;

z = (0, -2)

Чрез добавяне на C, получаваме (0, -2) + (-1, 1) = (-1, -1)

Това е една и съща абсолютна стойност, както преди (квадратен корен от две, около 1.41) - продължаване на третото повторение: Image, озаглавен 217503 7F

([-1]) - ([- 1]) става 1-1, което е равно на 0 (отново)...

Но сега 2xy е 2 (-1) (- 1), което е 2, равно на z стойност от (0, 2)

Добавете c получите (0, 2) + (-1, 1) = (-1, 3), след това a + b е 10, много повече от 4.

Така този път също избягва. Цвят 6 клетки в третия цвят, синьо и отидете на следващия, тъй като завършихме три повторения от тази точка. Изображение, озаглавено 217503 7G

Фактът, че използваме само три цвята, става очевиден като проблем тук, тъй като това, което визуализира само след 3 повторения, боядисани по същия начин, както (0, 0), които "никога" избяга - очевидно все още ще видите ли ви по-близо да се "Грешка" Манделброт на това ниво на детайлност.

Осем

Продължаване на изчисленията във всяка клетка , Въпреки че не е засегнало, или сте достигнали максималния брой повторения (броя на цветовете, които използвате: 3 в този пример), в този момент ще го рисувате. Ето как матрицата 9 на 9 се грижи за 3 повторения на всеки квадрат ... Изглежда като нещо!

девет. Повторете същата матрица отново с голям брой цветове (повторения), за да идентифицирате следните няколко слоя или по-добре, да направите много по-голяма матрица за дългосрочен проект! Получавате по-точни снимки от:

Изображение, озаглавено Mandelgen_81_81_0_0_1_RGB_FAST_533

Увеличаването на броя на клетките е 81 клетки от всяка страна. Обърнете внимание на приликата от матрицата 9 до 9 по-горе, но с много по-гладки ръбове на кръга и овал.

Image, озаглавен Mandelgen_81_81_0_0_1_RGB2BLACK_FAST_797

Увеличаване на броя на цветовете (повторения) - има 256 нюанса на червено, зелено и синьо общо 768 цвята в сравнение с 3. Обърнете внимание, че сега можете да видите очертанията на добре познатия Mandelbro "Езеро" (или "Грешки", В зависимост от това как го гледате). Недостатъкът е количеството време, което се изисква от, ако можете да изчислите всяко повторение от 10 секунди, той е около 2 часа за всяка клетка, или така, езерото Mandelbrot. Въпреки че това е относително малка част от матрицата 81 на 81, тя все още ще бъде възможна, ще отнеме годината, за да я завърши, дори ако сте работили в рамките на няколко часа всеки ден. Това е мястото, където е подходящ тип силиций.

Съвети

Защо z = (x-y, 2xy)?

За да умножите два сложни числа като (a, b) c (c, d), използвайте следната формула тук: Статия на Mathworld: (A, b) (c, d) = (AC - BD, BC + AD)
Непрекъснато умножено по квадратен корен от отрицателно число 1, често се нарича "I ` . Комплекс (0, 0), например, 0 + 0i и (-1, -1) (1) + (-1 * I) .Имайки предвид, че комплексният номер има "Реален" и"Имикс" част, и последният брой.

Все още с нас? Не забравяйте, че условията но и в - Реален, Itrermines Б и Д Въображаем . Следователно, когато въображаемите членове се умножат, квадратен корен от отрицателен 1, умножено сам по себе си, дава отрицателен 1, отричайки резултата и го прави Реален- Докато подходът "АД" и "BC" е въображаем, като квадратът от отрицателен 1 все още е израз на тези продукти. Следователно, имаме AC - Реален , и BC + реклама въображаем.
Сега, тъй като ние сме издигнати в квадрата на номера, вместо да умножим два различни номера, тя може да бъде леко опростена като A = S, и IN = D, имаме продукт във формата (A-B, 2AB). И откакто се показват "Цялостна равнина" на "Декартови равнина", в `Х` Представяне на ос "Реален" и "Y ` Представяне на ос "въображаем", Ще се свърже с (X-y, 2xy).

Ако преброите клетката отново и отново, и отбележете, че резултатът, който е точно същият като този, който вече сте получили за тази клетка, знаете, влязохте в безкраен цикъл - че клетката никога не избухва! По този начин можете да получите етикет, крайния цвят на вашите клетки и прехода към следващия. (0, 0), очевидно, една от тези клетки.

Искате да научите повече за възлагането на абсолютната стойност на интегрирания номер, без да работите върху изчисленията?

Абсолютната стойност на комплексовия номер (A, B) е квадратен корен от A + B, както и но и "Б ` са представени под прав ъгъл един към друг на картозвеската мрежа (x и на координатите, съответно). Ето защо, тъй като знаем, че набор от манделброк е ограничен до стойност 2, и квадрат 2 = 4, можем да заобиколим квадратните корени, просто вижте дали x + y> = 4.

Ако Catat има дължина> = 2, тогава хипотенузата (диагонална страна) също трябва да бъде по-голяма от 2. Ако не виждате защо е така, погледнете правоъгълните триъгълници на декартовата мрежа и това ще стане очевидно или просто да мисли за това: 2 = 4 и добавяне на друг положителен брой към това (и да се премахне отрицателно номер на площада, винаги получаваме положителен) не може да доведе до резултата по-малко от 4 . Така, ако един компонент на X или в интегрирания номер има стойност от 2 или повече, абсолютната стойност на този брой е по-голяма или равна на 2, а наборът от манделброк избягва.

За изчисление "Виртуална ширина" всяка клетка, ние се разделяме "Виртуален диаметър" на "Брой клетки минус един". Ние използваме виртуален диаметър 4 в примерите по-горе, както искаме да покажем всичко в радиус 2 (набор от манделброк е ограничен до стойност 2). За тристранно приближение, което "4 / (3 - 1)" , което е равно "4/2" , Това, което съответства на "2 ` . За 9-странична област, тя е "4 / (9 - 1)" , което е равно "4/8" , Това, което съответства на `0,5` . Използвайте същия размер на виртуалните клетки за височина и ширина, дори ако направите едната страна по-дълго от другата, в противен случай комплектът ще бъде изкривен.

Стъпка

Съвети

Предупреждения