Как да се изгради фрактален много аполо: 10 стъпки

Много Apollo са вида на фрактал, който е изграден чрез непрекъснато намаляване на диаметъра на кръговете в един голям кръг. Всеки кръг в набор от Аполон е "допирателна" до съседни кръгове, с други думи, кръговете в набора от аполон влизат в контакт само в безкрайно ниска точка. Той е наречен в чест на гръцката математика Аполония Перга. Този тип фрактална умерена степен на сложност може да бъде изградена на компютър или ръчно, създава красиво и светло изображение. Вижте стъпка 1 по-долу, за да започнете.

Стъпка

Част 1 от 2:

Научете повече за основните понятия

Ако просто се интересувате от изграждането на набор от Apollo, не е необходимо да се извършват математически изследвания на фрактала. Въпреки това, ако искате да разберете този фрактален по-дълбок, важно е да се знаят определенията на редица концепции, които ще бъдат използвани в обсъждането на тази тема.

един. Определете ключови условия. В инструкциите по-долу се използват следните условия:

Много аполо: едно от няколкото имена на фракталния тип, който се състои от група кръгове, разположени в голям кръг и се отнася до всички съседни. Също така се нарича содни кръгове или "целуващи кръгове".
Радиус на кръга: Разстояние от центъра на обиколката до точката, лежаща в кръга. Обикновено означават променливата "R".
Curvization на кръга: положителна или отрицателна стойност на обратната радиус, или ± 1 / r. Кривината е положителна за външната страна на обиколката и отрицателна - за вътрешната.
Tanner: терминът се прилага за линии, равнини и цифри, които се пресичат в една безкрайно ниска точка. В множество аполо се отнася до факта, че всеки кръг се отнася до съседните само в една точка. Моля, обърнете внимание, че пресичането липсва - допирателните фигури не се припокриват.

Изображение, озаглавено Създайте Apollonian гарнитура стъпка 2

2. Спазвайте теоремата на декортните.The Decartes Theorem е формула, която се използва при преброяване на размерите на кръговете в комплекта Аполон. Ако определим кривината (1 / R) от всякакви три кръга като А, Б, и ° С Съответно теоремата заявява, че кривината на кръга (или кръгове), която е допирателна за всичките три кръга, определени Д,равно на: d = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A).

За нашите цели ние ще използваме само отговора, който получихме, поставяйки знак плюс пред квадратен корен (с други думи ... +2 (√ ()...). В момента е достатъчно да се знае, че методът на изваждане в уравнението се използва в други свързани задачи.

Част 2 от 2:

Изграждане на набор от Аполон

Много Apollo приемат формата на красив фрактален дизайн от рязане в размера на кръговете. Математически, много Apollo са безкрайно сложни, но използвате компютърна програма или традиционни инструменти за рисуване, стигате до този момент, когато е невъзможно да се направи по-малък кръг. Обърнете внимание, че колкото по-точно нарисувате кръг, толкова повече те ще съответстват на многократното аполо.

един. Събиране на цифрови и аналогови инструменти за рисуване. В стъпките по-долу ще изградим нашите прости много Аполон. Можете да изградите разнообразие от себе си или да използвате компютър. Във всеки случай, трябва да рисувате перфектно гладки кръгове. Това е много важно. Тъй като всеки кръг в фрактал трябва да се побере перфектно със съседни кръгове, всеки дори леко деформиран кръг може да развали крайния си резултат.

Ако изградите много на компютъра си, ще ви трябва програма, която ви позволява лесно да изтеглите кръга от фиксиран радиус. GFIG - Vector Graphics разширение за безплатен софтуер за редактиране на изображения. Тя може да се използва в широк спектър от други графични програми. Може да се нуждаете от калкулатор и текстов редактор или редовен преносим компютър за бележки за радиус и кривина.
За да нарисувате ръчно набор, ще ви е необходим калкулатор (желателен научен или графика), молив, cirkul, линия (за предпочитане с millimeter маркиране), милиметрова хартия и бележки за бележки за бележки.

Изображение, озаглавено Създаване на Apollonian гарнитура стъпка 4

2. Започнете с един голям кръг. Първата ви задача е просто да привлечете един голям, напълно гладък кръг. Колкото по-голям е кръгът, толкова по-трудно може да бъде фрактал, така че се опитайте да изградите такъв кръг, кой размер на хартията позволява, или така че да може да се види напълно на екрана в графичната програма.

Изображение, озаглавено Създайте Apollonian гарнитура стъпка 5

3. Начертайте по-малък кръг в първия кръг, който ще го докосне в една точка. Така че, нарисувайте кръг в първия ни кръг, той ще бъде по-малък от основния, но все още доста голям. Точният размер на втория кръг зависи от вас, тъй като няма определен размер. Въпреки това, нека да нарисуваме втори кръг, така че да заемаме половината от основния кръг. С други думи, центърът му е средата на радиуса на по-големия кръг.

Не забравяйте, че в набор от Аполон всички кръгове са допирателни един към друг. Ако използвате циркулация, когато изграждате кръгове, пресъздайте този ефект, като поставите острия край на циркулацията в средата на радиуса на главния кръг и регулиране на кръговия молив по такъв начин, че просто сееше ръба на кръга, и след това начертайте по-малък вътрешен кръг.

Изображение, озаглавено Създаване на Apollonian гарнитура стъпка 6

4. Начертайте идентичен кръг до по-малък вътрешен кръг. Така че нека нарисуваме друга обиколка до първата. Обиколката трябва да бъде допирателна към двете кръгове: външен и вътрешен по-малък, което означава, че и двата вътрешни кръга влизат в контакт точно в центъра на големите.

Изображение, озаглавено Създаване на Apollonian гарнитура стъпка 7

пет. Приложете теорема за децептове за изчисляване на размерите на следните кръгове. За миг спрете рисуването. Сега, когато имаме три обиколка в фрактала, можем да използваме теоремата на декорт, за да намерим радиуса на следващия кръг, който ще рисуваме. Помнете уравнението на теоремата Decarte d = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A), където a, b и c са кривината на три допирателни кръгове и d - кривината на обиколката на допирателната до трите. Ето защо, за да намерите радиуса на следващия ни кръг, нека изчислим кривината на всяка от обиколката, която имаме, докато не можете да намерите кривината на следващия кръг и след това да изчислите неговия радиус.

Нека определим радиуса на външната обиколка като един. Тъй като вътре в нея са другите кръгове, ние се занимаваме с "вътрешната" кривина (вместо външна) и затова знаем, че тя е отрицателна. - 1 / R = -1/1 = -1. Така кривината на големия кръг е равна -един.

Радиусът на по-малките кръгове е половината от радиуса е голям, т.е. 1/2. Тъй като тези кръгове влизат в контакт един с друг и основния кръг от външни партии, ние се занимаваме с външна кривина, положителна. 1 / (1/2) = 2. Следователно кривината на по-малките кръгове е равна 2.

Сега знаем, че a = -1, b = 2 и c = 2 в нашето уравнение на теоремата на декортните. Да изчислим D:

d = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A)

d = -1 + 2 + 2 ± 2 (√ (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))

d = -1 + 2 + 2 ± 2 (√ (-2 + 4 + -2))

d = -1 + 2 + 2 ± 0

d = -1 + 2 + 2

D = 3. Кривината на следващата обиколка 3. Тъй като 3 = 1 / r, радиусът на този кръг ще бъде равен на 1/3.

Изображение, озаглавено създаване на стъпка 8 за уплътнение на Apollonian

6. Начертайте следните няколко кръгове. За да нарисувате следните два кръга, използвайте стойностите на радиуса, които току-що сте намерили. Не забравяйте, че тези окръга са допирателни към онези, чиято кривина се използва при броене на теоремата на декортните. С други думи, те ще засягат и основни и вторични кръгове. Така че тези кръгове да засягат трима други, трябва да ги привлечете в свободната зона отгоре и отдолу в основния кръг.

Не забравяйте, че радиусът на тези кръгове е 1/3. Стиснете 1/3 от ръба на външния кръг и след това начертайте нова. Тя трябва да бъде допирателна към трите близки кръгове.

Изображение, озаглавено Създаване на Apollonian гарнитура стъпка 9

7. По този начин продължете да добавяте кръг. Тъй като те са фрактали, много Аполон е безкрайно сложно. Това означава, че можете да добавите обиколка към нарастваща и по-малка фрактална база. Ограничавате ли се само до точността на инструментите си (или ако използвате компютър, способността на графична програма да увеличите мащаба). Всеки кръг, каквото и да е малък, трябва да бъде допирателен към трима други. За да нарисувате всеки следващ кръг, използвайте стойностите на кривината на три допирателни към нея кръгове за теоремата на декортните. След това с помощта на отговора точно начертайте нов кръг.

Моля, обърнете внимание, че комплектът, който избрахме да изградим, е симетрично, така че радиусът на един кръг е същият, тъй като радиусът на обиколката е идентичен. Въпреки това, не всички комплекти аполон симетрични.

Нека да направим друг пример. Да предположим след изграждането на последните няколко кръгове, ние ще искаме да привлечем кръг допирателен към третата ни двойка и основния кръг. Кривината на тези кръгове е съответно 3, 2 и -1. Сега ние включваме тези номера в декортате теорема, поставяйки това a = -1, b = 2 и c = 3:

d = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A)

d = -1 + 2 + 3 ± 2 (√ (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 х-1))

d = -1 + 2 + 3 ± 2 (√ (-2 + 6 + -3))

d = -1 + 2 + 3 ± 2 (√ (1))

d = 2, 6. Имаме два отговора! Но ние знаем, че новият ни кръг ще бъде по-малък от допирателните към него, това означава, че ще има смисъл само значението на кривината 6 (и радиус 1/6Чест.

Друг отговор, 2, всъщност се отнася до хипотетичен кръг върху "другата страна" на точката на допиране до втория и третия кръг. Този кръг е допиращ и към тези кръгове, така и към основния, но ще пресече обиколката, която вече сме нарисували, така че можете да игнорирате този отговор.

Изображение, озаглавено създаване на стъпка 10 на уплътнението на Apollonian

Осем. Като тест, опитайте се да изградите асиметрични много Apollo, като промените размера на втория кръг. Всички комплекти Аполон започват да изграждат от същото - с голям външен кръг, който е границата на фрактала. Въпреки това не е необходимо радиусът на втория кръг да е 1/2 първо. Просто решихме да вземем тези номера за простота и лекота в разбирането. За удоволствие се опитайте да изградите нов комплект с втори кръг от друг размер - това ще доведе до нови посоки в проучването.

След като се изгради втори кръг (независимо от неговия размер), следващото ви действие трябва да бъде изграждането на една (или повече) обиколка, която е допирателна и на втория, и към основните външни кръгове - няма само истински начин за изграждане то. След това можете да използвате теоремата за декорт, за да определите радиуса на следващите кръгове, както е показано по-горе.