Как да изчислим моменталната скорост: 11 стъпки

Скорост - Това е скоростта на преместване на обекта в посочената посока.За общата цел да се намери скоростта на обекта (v) - проста задача: трябва да разделите движението (ите) за определено време (и) за това време (t), т.е. използвайте формулата v = S / T. Въпреки това, по този начин се получава средната скорост на тялото. Използвайки някои изчисления, можете да намерите скорост на тялото навсякъде. Такава скорост се нарича Незабавна скорост и изчислени по формулата V = (ds) / (dt), Това означава, производно с формулата за изчисляване на средната скорост на тялото.

Стъпка

Част 1 от 3:

Изчисляване на мигната скорост

един. Започнете с уравнението. За да се изчисли мигновената скорост, е необходимо да се знае уравнението, което описва движението на тялото (неговата позиция в определен момент във времето), т.е. такова уравнение, от едната страна на която се намира и от друга страна - членове с променлива t (време). Например:

S = -1.5T + 10T + 4

В това уравнение:
Move = S. Преместване - пътят, приет от обекта. Например, ако тялото се преместило на 10 m напред и 7 м назад, тогава общото движение на тялото е 10 - 7 = 3м (10 + 7 = 17 m).
Време = Т. Обикновено се измерва за секунди.

Изображение, озаглавено изчисляване на мигновена скорост стъпка 2

2. Изчислете производа на уравнението. За да намерите мигновена скорост на тялото, чиито движения са описани над уравнението по-горе, трябва да изчислите дериватив на това уравнение. Деривата е уравнение, което ви позволява да изчислите наклона на графиката във всяка точка (по всяко време). За да намерите производно, индефференция функцията, както следва: Ако y = a * x, след това производно = a * n * x. Това правило се прилага за всеки член на полиномната.

С други думи, производителят на всеки член от променливата t е равен на продукта на множителя (стои преди променливата) и степента на променлива, умножена по променлива до степен, равна на началната степен минус 1. Свободният срок (член без променлива, т.е. числото) изчезва, защото се умножава по 0. В нашия пример:

S = -1.5T + 10T + 4
(2) -1.5T + (1) 10t + (0) 4t
-3T + 10t
-3T + 10

Изображение, озаглавено Изчислете мигновена скорост стъпка 3

3. Заместник "С" на "DS / DT", Да покаже, че ново уравнение е производно на първоначалното уравнение (т.е. производно s от t). Производно е наклонът на графиката в определена точка (в определен момент). Например, за да намерите наклона на линията, описана от функцията S = -1.5T + 10T + 4 при t = 5, просто заместител 5 към деривативното уравнение.

В нашия пример дериватовото уравнение трябва да изглежда така:

DS / DT = -3T + 10

Изображение, озаглавено изчисляване на мигновена скорост стъпка 4

4. В уравнението на производителя замества съответната стойност t, за да се намери мигновена скорост в определен момент във времето. Например, ако искате да намерите мигновена скорост при t = 5, просто заместител 5 (вместо t) към DS / dt = -3 + 10 уравнение. След това решават уравнението:

DS / DT = -3T + 10
DS / DT = -3 (5) + 10
DS / DT = -15 + 10 = -5 m / s

Обърнете внимание на незабавното измерване на скоростта: m / s. Тъй като ни се дава стойността на движенията в метри и време - за секунди, и скоростта е равна на съотношението на времето, тогава единицата на измерване m / c е правилната.

Част 2 от 3:

Графична оценка Незабавна скорост

един. Изграждане на график на движението на тялото. В предишната глава сте изчислили незабавна скорост по формулата (дериват на уравнение, което позволява да се намери наклон на графиката в определена точка). Поставяйки диаграма на преместването на тялото, можете да намерите неговото наклонение във всяка точка и следователно Определят мигновената скорост в определен момент във времето.

На оста y, отложи движението и на ос на x. Координатите на точките (x, y) ще получат чрез заместване на различни стойности на t към първоначалното уравнение, преместване и изчисляване на съответните стойности s.
Графикът може да падне под ос x. Ако движението на тялото се понижава под оста х, това означава, че тялото се движи в обратна посока от началната точка. Като правило, графикът не се прилага за y оста (отрицателни стойности на x) - ние не измерваме скоростта на предмети, движещи се назад във времето!

Изображение, озаглавено изчисляване на мигновена скорост 6

2. Изберете точката p на графиката (кривата) и точката q. За да намерите наклона на графиката в точката P, използвайте концепцията за лимита. Границата е състояние, при което стойността на secant, проведена през 2 точки p и q лежащи на кривата, има тенденция към нула.

Например, разгледайте точки P (1,3) и Q (4,7) и изчисляване на мигновена скорост при P.

Изображение, озаглавено Изчислете моментна скорост 7

3. Намерете наклона на сегмента на PQ. Наклонът на сегмента на PQ е равен на съотношението на разликата в стойностите на координатите "Y" точки P и Q към разликата в стойностите на координатите "X" точки P и Q. С други думи, H = (y_Q - y_Пс) / (х_Q - Х_ПсЧест, Където h е наклонът на сегмента на PQ. В нашия пример наклонът на сегмента на PQ е:

H = (y_Q - y_Пс) / (х_Q - Х_ПсЧест
H = (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = един.33

Изображение, озаглавено изчисляване на мигновена скорост стъпка 8

4. Повторете процеса няколко пъти, като въведете точката Q към точката p. Колкото по-малко е разстоянието между две точки, толкова по-близо е стойността на наклона на сегментите към наклона на графиката в точката p. В нашия пример сме направили изчислението за точката Q с координати (2.4.8), (1.5.3.95) и (1.25.3.49) (координатите на точката p остават същите):

Q = (2.4.осем): H = (4.8 - 3) / (2 - 1)
H = (1.8) / (1) = един.Осем

Q = (1.5.3.95): H = (3.95 - 3) / (1.5 - 1)
H = (.95) / (.5) = един.девет

Q = (1.25.3.49): H = (3.49 - 3) / (1.25 - 1)
H = (.49) / (.25) = един.96

Изображение, озаглавено изчисляване на мигновена скорост стъпка 9

пет. Колкото по-малко е разстоянието между точките P и Q, толкова по-близо е стойността h към наклона на графиката в точката p при максимално разстояние между точките p и q, стойността h ще бъде равна на наклона на графиката Точката P, тъй като не можем да измерим или изчислим максималното разстояние между две точки, графичният метод дава приблизителната стойност на графиката в точката.

В нашия пример, когато се обърнете Q към P, получихме следните стойности H: 1.8-1 1.9 и 1.96. Тъй като тези числа са склонни към 2, тогава можем да кажем, че наклонът на графиката в точка P е равен 2.

Не забравяйте, че наклонът на графиката в този момент е равен на деривативната функция (която е изградена от тази графика) в този момент. Графикът показва движението на тялото с течение на времето и, както е отбелязано в предишния раздел, мигновъчният телесен процент е равен на производителя на уравнението на това тяло. Така тя може да бъде декларирана, че при t = 2 мигновена скорост е равна 2 m / s (Това е приблизителна стойност).

Част 3 от 3:

Примери

един. Изчислете мигновена скорост при t = 4, ако движението на тялото е описано от уравнението S = 5T - 3T + 2T + 9. Този пример е подобен на задачата на първия дял с единствената разлика, че тук е дадено уравнение на третия ред (а не второто).

Първо изчислете производа на това уравнение:
S = 5T - 3T + 2T + 9
S = (3) 5t - (2) 3T + (1) 2t
15T - 6T + 2T - 6T + 2
Сега ще заменим стойността на t = 4 в уравнението:
S = 15T - 6T + 2
15 (4) - 6 (4) + 2
15 (16) - 6 (4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 m / s

Изображение, озаглавено Изчислете моментна скорост 11

2. Ние оценяваме стойността на мигновената скорост в точка с координати (1.3) на графиката на функцията s = 4t - t. В този случай, точка p има координати (1.3) и е необходимо да се намерят няколко координати на въпроса Q, лежащи близо до точката p. След това изчисляваме Н и намират очакваните стойности на мигновената скорост.

Ще намерим координатите Q на t = 2, 1.5, 1.1 и 1.01.

S = 4t - t

T = 2: S = 4 (2) - (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, така че Q = (2,14)

T = 1.Пет: S = 4 (1.5) - (1.пет)
4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, така Q = (1.5,7.пет)

T = 1.един: S = 4 (1.единадесет.един)
4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, така Q = (1.1,3.74)

T = 1.01: S = 4 (1.01) - (1.01)
4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, така Q = (1.01.3.0704)

Сега изчислявам h:

Q = (2,14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
H = (11) / (1) = единадесет

Q = (1.5,7.пет): H = (7.5 - 3) / (1.5 - 1)
H = (4.пет) / (.5) = девет

Q = (1.1,3.74): H = (3.74 - 3) / (1.единадесет)
H = (.74) / (.1) = 7.3

Q = (1.01.3.0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
H = (.0704) / (.01) = 7.04

Тъй като получените стойности Н се стремят към 7, може да се каже, че скоростта на мигновената телесна стойност в точката (1,3) е равна на 7 m / s (прогнозна стойност).

Съвети

За да намерите ускорение (промяна в скорост във времето), използвайте метода от първа част, за да получите производно на функцията за движение. След това вземете друго време, получено от полученото производно. Тя ще ви даде уравнението да намериш ускорение в момента - всичко, което трябва да направите, е да замени стойността за времето.
Уравнението, описващо зависимостта на (движението) от x (час), може да бъде много просто, например: y = 6x + 3. В този случай, наклонът е постоянен и не приемайте производно, за да го намерите. Според теорията на линейните графики, техният наклон е равен на коефициента с променлива x, т.е. в нашия пример = 6.
Движението е като разстояние, но има определена посока, която го прави векторно количество. Преместването може да бъде отрицателно, докато разстоянието ще бъде само положително.