Как да намерим обратна матрица 3x3

По правило се използват обратни операции за опростяване на сложни алгебрични изрази. Например, ако задачата присъства в разделянето на фракция, е възможно да го замените с операция за умножение за обратна част на фракцията, която е обратна работа. Освен това, матриците не могат да се разделят, така че трябва да се размножавате върху матрицата за връщане. Изчислете матрицата, обратната матрица с размер 3x3, по-скоро уморително, но трябва да можете да го направите ръчно. Също така и обратната стойност може да бъде намерена с помощта на добър графичен калкулатор.

Стъпка

Метод 1 от 3:

Използване на прикрепена матрица

един. Проверете детерминанта на матрицата. Първо изчислете детерминанта на матрицата. Ако определянето е 0, тогава обратната матрица не може да бъде изчислена. Определянето на матрицата m се обозначава като det (m).

В случай на матрица от 3x3, първо трябва да изчислите детерминанта.
За да получите подробна информация, прочетете статията Как да намерим детерминанта на матрицата 3x3.

Изображение, озаглавено намиране на обратната страна на 3x3 матрица стъпка 2

2. ТРАЗАНИЯТ НА ОРИГИНАТА МАТРИКА. Транспонирането е подмяна на редове върху колоните спрямо основния диагонал на матрицата, т.е. е необходимо да се променят елементите (i, j) и (j, i) места. В същото време елементите на главния диагонал (започва в горния ляв ъгъл и завършват в долния десен ъгъл), не се променят.

За да промените редовете в колоните, напишете елементите на първия ред в първата колона, елементите на втората линия във втората колона и елементите на третата линия в третата колона. Процедурата за промяна на позицията на елементите е показана на фигурата, на която съответните елементи са заобиколени с цветни кръгове.

Изображение, озаглавено намиране на обратната страна на 3x3 матрица стъпка 3

3. Намерете дефинирайте всяка матрица от 2x2. Всеки елемент от всяка матрица, включително транспониран, е свързан със съответната матрица 2x2. За да намерите 2x2 матрицата, която съответства на конкретен елемент, прекоси низ и колона, в която се намира този артикул, т.е. трябва да пресичате пет елемента на оригиналната матрица 3x3. Безбройни четири елемента, които са елементи на съответната матрица 2x2.

Например, за да намерите 2x2 matrix за елемент, който се намира на пресечната точка на втория ред и първата колона, прекоси пет елемента, които са във втория ред и първата колона. Останалите четири елемента са елементи на съответната матрица 2x2.

Намерете детерминанта на всяка матрица 2x2. За да направите това, продуктът на елементите на вторичния диагонал ще се приспадне от работата на елементите на основната диагонал (виж фигурата).

Подробна информация за матриците 2x2, съответстващи на определени елементи от матрицата 3x3, могат да бъдат намерени в интернет.

Изображение, озаглавено намиране на обратната страна на 3x3 матрица стъпка 4

4. Създайте кофактор матрица. Резултатите, получени по-рано, записват като нова кофакторна матрица. За целта идентификаторът на всяка матрица 2x2 ще пише там, където се намира съответният елемент на матрицата 3x3. Например, ако матрицата 2x2 се разглежда за елемента (1.1), неговият детерминант се записва в позиция (1,1). След това променете признаците на съответните елементи съгласно определена схема, която е показана на фигурата.

Схема на промяна на знаците: Знакът на първия елемент на първия ред не се променя - знакът на втория елемент от първия ред се променя в обратното - знакът на третия елемент на първия ред не се променя и така на линия. Моля, обърнете внимание, че знаците "+" и ";", които са показани в диаграмата (виж фигурата), не показват, че съответният елемент ще бъде положителен или отрицателен. В този случай, знак "+" предполага, че знакът на елемента не се променя и знакът ";" показва промяна в знака на елемента.

Подробна информация за кофакторните матрици може да бъде намерена в интернет.

Така че ще намерите прикрепена матрица на оригиналната матрица. Понякога се нарича комплекс-конюгатна матрица. Такава матрица е показана като adj (m).

Изображение, озаглавено намиране на обратната страна на 3x3 матрица стъпка 5

пет. Разделете всеки елемент от приложената матрица към определящия фактор. Определянето на m матрицата се изчислява в самото начало, за да се провери дали съществува обратната матрица. Сега разделете всеки елемент от приложената матрица към този детерминант. Резултатът от всяка операция на отдела ще запише там, където се намира съответният артикул. Така ще намерите матрица, обратна източник.

Определянето на матрицата, което е показано на фигурата, е 1. Така, тук приложената матрица е обратна матрица (защото при разделянето на всеки номер на 1 не се променя).

В някои източници операцията на отдела се заменя с функцията за умножение с 1 / det (m). В този случай крайният резултат не се променя.

Метод 2 от 3:

Използване на елементарни трансформации

един. Единична матрица пишете до оригиналната матрица. Запишете първоначалната матрица m, вдясно от нея, начертайте вертикална линия и след това вдясно от линията запишете матрицата на уреда. Оказва се матрица с три реда и шест колони (голяма матрица).

Припомнете си, че една матрица е матрица, където елементите на основния диагонал са единици, а останалите елементи са нули. Подробна информация за единичните матрици може да бъде намерена в интернет.

Изображението, озаглавено намиране на обратната страна на 3x3 матрица стъпка 7

2. Извършват елементарни трансформации, за да се получи една матрица, за да се получи единична. Нашата цел е да създадем една матрица на лявата половина на голямата матрица. Елементарните трансформации, извършени в лявата половина на голяма матрица, също трябва да бъдат извършени в дясната му половина (припомняме, че дясната половина на голямата матрица е една матрица).

Не забравяйте, че елементарните трансформации включват скаларни мултипликационни операции, както и добавяне и изваждане на струни за отделяне на определени елементи. Подробна информация за реализациите на елементарните матрици можете да намерите в интернет.

Изображение, озаглавено намиране на обратната страна на 3x3 матрица стъпка 8

3. Продължете да конвертирате голяма матрица, докато лявата половина (т.е. източникът на матрицата) няма да се превърне в една матрица. Припомнете си, че една матрица е матрица, където елементите на основния диагонал са единици, а останалите елементи са нули. Когато първоначалната матрица стане единична, отдясно половината от голямата матрица ще получите матрица, обратна източник.

Изображение, озаглавено намиране на обратната страна на 3x3 матрица стъпка 9

4. Запишете обратната матрица. Запишете елементите, разположени в дясната половина на голямата матрица, като отделна матрица, която е завръщащата се матрица.

Метод 3 от 3:

Използване на калкулатор

един. Изберете калкулатор, който работи с матрици. С помощта на прости калкулатори е невъзможно да се намери обратна матрица, но това може да се направи на добър графичен калкулатор, като TEXAS инструменти TI-83 или TI-86.

Изображение, озаглавено намиране на обратната част на 3x3 матрица стъпка 11

2. Въведете изходната матрица в паметта на калкулатора. За да направите това, натиснете бутона MATRIX (MATRIX), ако е така. В случая с калкулатора на Texas Instruments може да се наложи да натиснете бутоните 2 и матрицата.

Изображение, озаглавено намиране на обратната част на 3x3 матрица стъпка 12

3. Изберете меню за редактиране (редактиране). Направете го с бутоните със стрелки или съответния функционален бутон, който е в горната част на клавиатурата за калкулатор (местоположението на бутона зависи от модела на калкулатора).

Изображение, озаглавено намиране на обратната част на 3x3 матрица стъпка 13

4. Въведете обозначението на матрицата. Повечето графични калкулатори могат да работят с 3-10 матрици, които могат да бъдат обозначени с букви A-J. Като правило, просто изберете [A], за да обозначите оригиналната матрица. След това натиснете бутона Enter.

Изображение, озаглавено Намерете обратното на 3x3 матрица стъпка 14

пет. Въведете размера на матрицата. Тази статия се отнася до 3x3 матрици. Но графичните калкулатори знаят как да работят с големи матрици. Въведете броя на редовете, натиснете бутона ENTER, след това въведете броя на колоните и отново натиснете бутона ENTER.

Изображението, озаглавено намиране на обратна точка на 3x3 матрица стъпка 15

6. Въведете всеки матричен елемент. Матрицата се появява на екрана на калкулатора. Ако матрицата вече е въведена по-рано в калкулатора, тя ще се появи на екрана. Курсорът ще разпредели първия елемент на матрицата. Въведете стойността на първия елемент и натиснете ENTER. Курсорът автоматично ще премине към следния елемент на матрицата.

За да въведете отрицателната стойност на елемента, натиснете специалния бутон с бутона "минус", а не бутона за обработка на изваждането - в противен случай калкулаторът няма да може правилно да обработва този номер.

За да отидете в определен елемент от матрица, използвайте бутоните със стрелки.

Изображение, озаглавено намиране на обратната част на 3x3 матрица стъпка 16

7. Излезте от режима на управление на матрицата. Въвеждане на стойностите на всички матрични елементи, щракнете върху бутона за отказ. (Или, ако е необходимо, натиснете бутоните 2 и Quit.) Така че ще оставите начина на приложение на матрицата и отидете на главния екран на калкулатора.

Изображение, озаглавено намиране на обратната страна на 3x3 матрица стъпка 17

Осем. Използвайте специален бутон, за да намерите обратна матрица. Първо, въведете режима на matrix вход (натиснете бутона MATRIX) и натиснете бутона "Имена", за да изберете обозначението на матрицата, което сте посочили по-рано (най-вероятно, [A]). След това натиснете бутона за обратна работа, който е маркиран като

Х - един

$x ^ {{- 1}}$ (Може би първо трябва да натиснете 2 бутона). На екрана ще се появи

А - един

$A ^ {{- 1}}}$ . Натиснете ENTER, за да покажете обратната матрица.

Не използвайте бутона ^ (бутон за увеличаване до степен), за да въведете ^ -1 чрез натискане на няколко клавиша. Калкулаторът няма да разбере тази операция.

Ако след щракване върху бутона за обратна работа, на екрана се появи съобщение за грешка, най-вероятно обратната матрица не съществува. Да се уверите, че изчислява идентификацията на матриците.

Изображение, озаглавено намиране на обратна точка на 3x3 матрица стъпка 18

девет. Конвертирайте стойностите на елементите за възвратни матрица към обикновените фракции. По подразбиране калкулаторът показва стойностите на елементите на възвратната матрица под формата на десетични фракции - в повечето случаи такава матрица не може да бъде записана в отговора. Следователно, десетичните стойности на елементите на матрицата на връщане трябва да бъдат превърнати в обикновени фракции (в най-редките случаи, всички елементи на матрицата на връщане ще бъдат цели числа).

В много графични калкулатори има бутон, който ви позволява да конвертирате десетични фракции до обикновените. Например, на калкулатора TI-86 щракнете върху MATH, изберете Разни (други), след това изберете FRAC и натиснете ENTER. Десетичните фракции ще бъдат автоматично превърнати в обикновени.

Съвети

Описаните методи могат да бъдат приложени към матрици, чиито елементи са не само числа, но и променливи, неизвестни и дори алгебрични изрази.
Изчисленията записват на хартия, тъй като е изключително трудно да се намери обратна матрица.
Има компютърни програми, които могат да работят с всякакви матрици, включително матрица 30x30.
Проверете получения отговор, като се използва някой от методите, описани в тази статия. За това Умножете се Източник (m) и обратната (m) матрица. Не забравяйте, че m * m = m * m = 1. Една матрица е матрица, където елементите на основния диагонал са единици, а останалите елементи са нули. Ако резултатът от умножението не е равен на 1, проверете изчисленията си.

Предупреждения

Не всички матрици 3x3 обратими. Ако определянето на матрицата е 0, обратната матрица не съществува. (Моля, обърнете внимание, че има разделение в определящ фактор в изчисленията и не може да бъде разделен на 0.Чест