Как да решават повтарящо се уравнение

Преди намиране на формула на някаква математическа последователност е необходимо да се намери N-та член на тази последователност, експресиран чрез предишен член на последователността (и не като функция от N). Например, би било хубаво да се знае функцията за N-тия член на последователността на Fibonacci, но често имате само повтарящо се уравнение, което свързва всеки член на последователността на Fibonacci с две предишни членове. Тази статия ще ви каже как да решите повтарящото уравнение.

Стъпка

Метод 1 от 5:

Аритметична прогресия

един. Разгледайте последователността 5, 8, 11, 14, 17, 20, ....

Изображение, озаглавено Резюме Relass Стъпка 2

2. Всеки член на тази последователност е по-голям от предишния член на 3, така че може да бъде изразен чрез повтарящо се уравнение, показано на фигурата.

Изображение, озаглавено Решетка Релс Релс Стъпка 3

3. Повтарящо се уравнение на тип А_Н = А_N-1 + D е аритметична прогресия.

Изображение, озаглавено Резюме Relass Стъпка 4

4. Запишете формулата за изчисляване на N-тия член на аритметичната прогресия, както е показано на фигурата.

Изображение, озаглавено Резюме Relass Стъпка 5

пет. Подайте стойността във формулата на тази последователност. В нашия пример 5 - това е 0-ти член на последователността. Тогава формулата има външен вид a_Н = 5 + 3N. Ако 5 е първият член на последователността, тогава формулата има формата a_Н = 2 + 3N.

Метод 2 от 5:

Геометрична прогресия

един. Помислете за последователността 3, 6, 12, 24, 48, ....

2. Всеки член на тази последователност е по-голям от предишния член 2 пъти, така че може да бъде изразен от повтарящото се уравнение, показано на фигурата.

Изображение, озаглавено Решете Relass Стъпка 8

3. Повтарящо се уравнение на тип А_Н = R * a_N-1 е геометрична прогресия.

4. Записва формулата за изчисляване на N-тия член на геометричната прогресия, както е показано на фигурата.

Изображение, озаглавено решетка рейч Релс Стъпка 10

пет. Подайте стойността във формулата на тази последователност. В нашия пример 3 - това е 0-ти член на последователността. Тогава формулата има външен вид a_Н = 3 * 2. Ако 3 е първият член на последователността, тогава формулата има външен вид a_Н = 3 * 2.

Метод 3 от 5:

Полином

един. Помислете за последователност 5, 0, -8, -17, -25, -30, ..., дадено от повтарящото се уравнение, показано на фигурата.

Изображение, озаглавено решаване на релтов релса стъпка 12

2. Всяко повтарящо се уравнение на видовете, показани на фигура (където p (n) е напоенран от n), има полином, чийто индикатор е 1 по-голям от индикатора.

Изображение, озаглавено решаване на релтов релса стъпка 13

3. Напишете полином от съответния ред. В нашия пример, P има втори ред, така че е необходимо да се напише кубичен полином, за да се представи последователност a_Н.

Изображение, озаглавено решетка Рецидивно релса стъпка 14

4. Тъй като четири неизвестни коефициенти в кубическия полином, напишете система от четири уравнения. Всички четири са подходящи, така че помислете за 0 о, първия, 2-ри, 3-те членове. Ако искате, помислете за -1-та член на повтарящото уравнение, за да се опрости процеса на вземане на решения (но не е необходимо).

Изображение, озаглавено Решете Релс Стъпка 15

пет. Решете получената степен (P) +2 уравнения за степен (p) = 2 неизвестни, както е показано на фигурата.

Изображение, озаглавено Решетка Релас Стъпка 16

6. Ако - Това е един от членовете, които сте използвали за изчисляване на коефициентите, тогава бързо ще намерите постоянен член на полином и можете да опростите системата до степен (P) +1 уравнения за степен (P) +1 неизвестни като показан на фигурата.

Изображение, озаглавено Резюме Relass Стъпка 17

7. Решават системата от линейни уравнения и да получите c₃ = 1/3, c₂ = -5/2, c_един = -17/6, c = 5. Запишете формулата за_Н под формата на полином с известни коефициенти.

Метод 4 от 5:

Линейни повтарящи се уравнения

един. Това е един от методите за решаване на Фибоначи. Въпреки това, този метод може да се използва за решаване на всякакви повтарящи се уравнения, в които N-B е линейна комбинация от предишни клетчни лица. Помислете за последователност 1, 4, 13, 46, 157, ....

Изображение, озаглавено Решете Relass Step 19

2. Напишете характерния полином от повтарящото се уравнение. За да направите това, заменете a_Нна x и разделят ATX - получавате полиномна степен K и постоянен член, различен от нула.

Изображение, озаглавено Решете Релс Стъпка 20

3. Решават характерния полином. В нашия пример той притежава степен 2, така че използвайте формулата за намиране на корените на квадратното уравнение.

Изображение, озаглавено Решете Релс Стъпка 21

4. Всяко изразяване на външния вид, показано на фигурата, отговаря на повтарящото се уравнение. ° С_I- Това са всяка постоянна, а основите на степента са корените на характерния полином (решен по-горе).

Ако характеристичният полином има няколко корена, тогава трябва да направите следното. Ако R е коренът на множеството m, вместо_единR) използване (c_единR + C₂NR + C₃Nr + ... + ° С_МNR). Например, помислете за последователността 5, 0, -4, 16, 144, 640, 2240, ..., удовлетворяване на повтарящо се уравнение a_Н = 6а_N-1 - 12А_N-2 + 8а_N-3. Характерният полином има три корени и формулата е написана като: a_Н = 5 * 2 - 7 * n * 2 + 2 * n * 2.

Изображение, озаглавено Резюме Релс Стъпка 22

пет. Намерете постоянен C_I, удовлетворяване на първоначалните условия. За тази рекордна система на уравнения с първоначалните условия. Тъй като в нашия пример неизвестен, запишете системата от две уравнения. Всички две са подходящи, така че помислете за 0th и 1-ви членове, за да се избегне изграждането на ирационален номер в по-голяма степен.

Изображение, озаглавено Решетка Релас Релс Стъпка 23

6. Решаване на получената система на уравнения.

Изображение, озаглавено Решетка Релас Релс Стъпка 24

7. Намерено постоянно подготвяне във формулата.

Метод 5 от 5:

Изпълнение на функции

един. Разгледайте последователността 2, 5, 14, 41, 122 ..., дадено от повтарящото се уравнение, показано на фигурата. Тя не може да бъде решена, използвайки някой от описаните по-горе методи, но формулата е чрез производствени функции.

Изображение, озаглавено решетка Рецидив Релс Стъпка 26

2. Напишете функция за производство на последователност. Производствената функция е официален ред, когато коефициентът на X е N-ти член на последователността.

3. Конвертирайте продуктивната функция, както е показано на снимката. Целта на тази стъпка е да се намери уравнението, което ще ви позволи да решите функцията за производство a (x). Премахнете първоначалния член. Прилагат повтарящото уравнение за останалите членове. Разделяне на сумата. Премахване на постоянни членове. Използване на дефиниция a (x). Използвайте формулата за изчисляване на количеството на геометричната прогресия.

Изображение, озаглавено Решетка Релас Релс Стъпка 28

4. Намерете продукта A (X).

Изображение, озаглавено решаване на решетка Релс Стъпка 29

пет. Намерете коефициента, когато х в a (x). Методите за намиране на коефициент зависят от вида на функцията a (x), но фигурата показва метода на елементарни фракции в комбинация с генериращата функция на геометричната прогресия.

Изображение, озаглавено Решетка Релас Релс Стъпка 30

6. Запишете формулата за_Н, За да намерите коефициента при x в a (x).

Съвети

Индуктивен метод също е много популярен. Често е лесно да се докаже (използвайки индуктивния метод), че някаква формула отговаря на някакво повтарящо се уравнение, но проблемът е, че е необходимо да се отгатне формулата предварително.
Някои от описаните методи изискват голямо количество изчислителни, което може да доведе до грешки. Следователно, проверете формулата за няколко известни условия.