Как да вземем дериват в математическия анализ

Деривативната функция може да се използва за получаване на полезна информация за графиките, например, за да се открие положението на максима, ниски, пикове, депресия и наклон. Можете дори да ги използвате за изграждане на сложни уравнения по график без прилагането на графичния калкулатор! За съжаление, намирането на дериватив може да бъде досадна задача, но тази статия ще ви помогне да научите някои техники и сръчност.

Стъпка

един. Проверете производно за обозначението на формуляра. Следващите две форми на обозначение са най-често срещаните, но на Уикипедия можете да намерите огромен брой други Тук.

Обозначение Leibnitsa. Това обозначение е най-често в случаите, когато функцията включва Y и X. Dy / dx буквално означава "производно y относително с x." Удобно е да се представи производно под формата на безкрайно малки разлики ΔY / Δx. Това обяснение е следствие от определянето на деривата чрез лимита: lim_{H-> 0} (F (X + H) -f (x)) / h. Използвайки това обозначение за второто производно, трябва да напишете: dy / dx.
Означаване на Лагранж. Деривативната функция може да бъде написана и като F `(x). Това обозначение се чете като "F баркод от x". Това обозначение е по-кратко от обозначението на Lebrity, то е полезно при разглеждането на производно като функция. Да образуват производни на по-високи поръчки, просто добавете към"Е" Нов " ` ". Така че второто производно ще бъде видяно f `` (x).

Изображение, озаглавено Деривати в Calculus Стъпка 2

2. Разберете какво е дериват и защо е необходимо. Първо, за да се намери наклона на пряка зависимост, се предприемат две точки на линията и техните координати са заменени в уравнението (Y₂ - y_един) / (х₂ - Х_единЧест. Въпреки това, тя може да се използва само за линейни зависимости. За квадратични зависимости и над линията ще бъде крива, така че определението "разлика" две точки не могат да бъдат точни. За да намерите тегленето на наклона към криволинейни графики, се вземат две точки, които са заместени в стандартното уравнение за определяне на теганта до кривата: [F (X + DX) - F (X)] / DX. Dx означава "Delta X," Разликата между двете X координати на графика. Моля, обърнете внимание, че този израз е подобен (y₂ - y_един) / (х₂ - Х_един), само в друга форма. Тъй като вече е известно, че резултатът няма да бъде точен, се прилага непряк подход. За да намерите тегленето на наклона в точката (x, f (x)), DX трябва да се стреми към 0, така че две избрани точки са живи в едно. Въпреки това, ние не можем да разделим 0, следователно, заместването на двете стойности на координатите на точките, ще трябва да разширите израза на множителите и да използвате други методи за намаляване на DX в дъното на експресията. След като направите това, приемете DX = 0 и решете уравнението. Това ще бъде ъгъл на наклон в точката (x, f (x)). Производството на израза е общ израз за намиране на наклон на всяка допирателна за планиране. Може да изглежда изключително трудно, но няколко примера, показани по-долу, ще ви помогнат да разберете процеса на намиране на дериват.

Метод 1 от 4:

Диференциране на изрични функции

един. Използвайте диференциацията на изричните функции, когато изразяването ви вече има Y, разположено в една част от нея.

Изображение, озаглавено Деривати в Calculus Стъпка 4

2. Заменете израз [F (X + DX) - F (x)] / dx. Например, ако уравнението ви има формата y = x, производно ще бъде видяно [(x + dx) - x] / dx.

Изображение, озаглавено Деривати в Calculus Стъпка 5

3. Отворете скоби и след това визуализирани DX на скоби, получаване на уравнение [DX (2x + DX)] / dx. Сега можете да съкратите два DX в горната и долната част на фракцията. В резултат на това ще получите 2x + DX и когато DX има склонност към 0, тогава производно е 2x. Това означава, че наклонът на всяка допирателна към графика y = x е 2x. Просто замени стойността на x точка, в която искате да намерите наклон.

Изображение, озаглавено Деривати в Calculus Стъпка 6

4. Разгледайте схемите за намиране на деривативните функции на този тип. По-долу са някои от тях.

Производството на функцията на захранването е равно на продукта от степента и причината за степента на единица. Например, производно на xhanne 5x и производно X е равно на 3.5x. Ако преди x вече имате номер, просто го умножете до степен. Например, 3x производно е 12x.

Производно на произволен брой е равен на 0. С други думи, дериватният 8 е равен на 0.

Получената сума е сумата от отделни деривати. Например, X + 3x производно е 3x + 6x.

Производителят на работата е продукт на първия фактор върху производителя на втория плюс продукта на втория фактор при производителя на първия. Например, производно X (2x + 1) е X (2) + (2x + 1) 3x, което е 8x + 3X.

Производството на фракцията (казвам, f / g) е [g (производно е) - f (производно ж)] / g. Например, производно (X + 2x - 21) / (X - 3) е равно на (X - 6x + 15) / (X - 3).

Метод 2 от 4:

Разграничаване на имплицитните функции

един. Използвайте диференциация на имплицитно изразените функции, когато Y от едната страна не може да бъде разпределена във вашия израз. Дори ако сте успели да го запишете с Y в една част, изчисляването на dy / dx ще бъде обемист. По-долу са примери за намиране на производно за изрази от този тип.

Изображение, озаглавено Деривати в Calculus Стъпка 8

2. В този пример: xy + 2y = 3x + 2y, замени y на f (x), за да запомните, че Y всъщност е функция. Изразът ще вземе форма XF (x) + 2 [F (x)] = 3x + 2F (x).

Изображение, озаглавено Деривати в Calculus Стъпка 9

3. За да намерите производа на този израз, индециране (интелигентна дума, която означава да се намери дериват) и двете страни уравнение от x. Изразът ще стане XF `(x) + 2XF (x) + 6 [F (x)] F` (x) = 3 + 2F `(x).

Изображение, озаглавено Вземи деривати в Calculus Стъпка 10

4. Заменете F (x) отново на Y. Бъдете внимателни и не правете същото за f `(x), различаващи се от f (x).

Изображение, озаглавено Вземи деривати в Calculus Стъпка 11

пет. Намерете F `(x). Отговорът на този пример приема формата (3 - 2xY) / (x + 6Y - 2).

Метод 3 от 4:

Деривати с по-висок ред

един. Вземете най-високата деривативна функция, за да вземете деривативно производно (в случай на ред, равен на 2). Например, ако бъдете помолени да вземете дериват на трета поръчка, просто вземете деривативното производно. За някои изрази дериватите с висока поръчка приемат нулевата стойност.

Метод 4 от 4:

Правило верига

един. Ако Y е диференцируема функция Z, и Z - диференцируема функция, Y е сложна функция x, а y до x (dy / dx) производно (dy / du) * (du / dx) * (du / dx) * (du / dx). Правилото на веригата също се отнася до сложни изрази на енергия, например: (2x - X). За да намерите дериват, просто приложите правилото на продукта. Умножете израза в степента и намалете степента на единица. След това умножете израза на основното производно (в нашия случай е 2x ^ 4 - x). Отговорът на този пример изглежда така: 3 (2x - x) (8x - 1).

Съвети

Когато видите, че трябва да решите просто един огромен пример - не се притеснявайте. Разбийте го на възможно най-много най-малки парчета, прилагане на правилата на работата, фракциите и t.Д. След това продължете към диференциране на отделни части.
Практика за използване на правилата на работата, фракциите, веригите и по-специално - диференциране на функциите в имплицитна форма, тъй като те са много сложна част от матанализата.
Ще използвате калкулатора - опитайте да използвате различни функции на вашия калкулатор, за да разберете нейните възможности. Особено полезно да се знае функциите на допирателната и производна, ако са в калкулатора.
Запомнете дериватите на основните тригонометрични функции и как да се свържете с тях.

Предупреждения

Не забравяйте, че когато използвате правилата на Ruli преди F (производно G) се извършва от минус знак - това е често срещана грешка и забравяте, ще получите неправилен отговор.