Как да индуцирате имплицитна функция: 7 стъпки

Когато получавате ясна функция, в която зависимата променлива е изолирана от едната страна на знака за равенство (например, y = x -3x), тогава можете лесно да го направите директно (т.е. да намерите производно). Но имплицитни функции (например, x + y - 5x + 8Y + 2xy = 19), в която не е толкова просто да се отдели зависимата променлива различно различно.

Стъпка

Метод 1 от 2:

Намиране на производно на проста функция

един. От двете страни на функцията намират (по стандартен начин) производни на членове, съдържащи независима променлива "X", и безпроизводителни свободни членове. На този етап членовете, съдържащи зависимата променлива "Y", докато докоснете. Например, функцията X + Y е дадена - 5x + 8Y + 2XY = 19.

В нашия пример X + Y - 5x + 8Y + 2XY = 19 Има двама членове от променливата "X": X и -5X. Намерете техните деривати:
X + Y - 5x + 8Y + 2XY = 19
(Степен 2 в x правят множител, в -5x се отървете от "x", а производно 19 е 0)
2x + Y - 5 + 8Y + 2xY = 0

Изображение, озаглавено Изключително имплицитно диференциация Стъпка 2

2. Сега приемайте деривати от члена от променливата "Y" и им наложите (DY / DX). Например, когато намирането на дериват на член, запишете го, както следва: 2Y (dy / dx). На този етап членовете, съдържащи и двете променливи ("x" и "y"), докато докоснете.

В нашия пример 2x + Y - 5 + 8Y + 2XY = 0 диференцират членове Y и 8Y:

2x + Y - 5 + 8Y + 2xY = 0

(Индикатор на степен 2 v m, за да се направи множител, а в 8-та се отървете от "y" - след това налагате на получения dx / dy производно)

2x + 2Y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy = 0

Изображение, озаглавено Изключително имплицитна диференциация Стъпка 3

3. За да намерите дериват на член, съдържащ продукт от две променливи ("x" и "y"), използвайте функцията на диференциация на функциите на функциите: (F × g) `= f` × g + g × f `, където вместо f субстрат "x", и вместо g - "y". От друга страна, да се намери производно на член, съдържащ частните две променливи ("X" и "Y"), използвайте правилото за диференциране на частните функции: (F / g) `= (g × F` - g `× f) / g, където вместо f субстрат "x", и вместо g - "y" (или обратно, в зависимост от дадените ви функции).

В нашия пример 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2H = 0 има един член с двете променливи: 2xy. Тъй като тук променливите се умножават, използвайте функцията на диференциране на функциите:

2xy = (2x) (y) - нека 2x = f и y = g в (F × g) `= f` × g + g × f `

(F × g) `= (2x)` × (y) + (2x) × (y) ``

(F × g) `= (2) × (y) + (2x) × (2y (dy / dx))

(F × g) `= 2Y + 4XY (dy / dx)

Добавете тези членове към основната функция и вземете: 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0

Изображението, озаглавено на имплицитна диференциация стъпка 4

4. Did (dy / dx). Имайте предвид, че всеки двама членове "А" и "Б", които се умножават по (DY / DX), могат да бъдат написани във формата (A + B) (DY / DX). За разделяне (DY / DX) прехвърлете всички членове без (dy / dx) в едната страна на знака за равенство и след това ги разделете на членовете, които стоят в скоби в (DY / DX).

В нашия пример 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0:

2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0

(2Y + 8 + 4XY) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y = 0

(2Y + 8 + 4XY) (dy / dx) = -2y - 2x + 5

(DY / DX) = (-2y - 2x + 5) / (2Y + 8 + 4XY)

(Dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

Метод 2 от 2:

Разширени методи

един. Стойности за подготвяне (x, y) за намиране (dy / dx) за всяка точка. Задължителен (dy / dx), намерихте производно на имплицитна функция. Използвайки това производно, можете да намерите ъгловия коефициент на тангенциална във всяка точка (x, y), просто заместване на намереното производно на координатите "X" и "Y".

Например, е необходимо да се намери ъгловият коефициент на допиране в точка А (3, -4). За да направите това, в производното вместо "x" заместител 3 и вместо "y" заместител -4:
(Dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)
(Dy / dx) = (-2 (-4) - 2 (3) + 5) / (2 (2 (3) (- 4) + (-4) + 4)
(Dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))
(Dy / dx) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))
(Dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))
(Dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48 = 0,6875. t.

Изображение, озаглавено Изключително имплицитно диференциация Стъпка 6

2. Възползвайте се от детайлите на веригата за диференциране на сложни функции: Ако функцията f (x) може да бъде написана във формата (f О g) (x), производно f (x) е равно F `(g (x)) g` (x). Това означава, че производителят на състава от две или повече функции може да бъде изчислен въз основа на отделни производни.

Пример: Намерете деривата на греха (3x + x). В този случай означават SIN (3X + X) като "F (x)" и 3x + x като "G (x)".

F `(g (x)) g` (x)

(SIN (3x + x)) `× (3x + x)` `

Cos (3x + x) × (6x + 1)

(6x + 1) cos (3x + x)

Изображение, озаглавено Изключително имплицитно диференциация Стъпка 7

3. Ако функцията съдържа променливите "X", "Y", "Z", намерете (DZ / DX) и (DZ / DY). Това означава, че ако функцията съдържа повече от две променливи, за всяка допълнителна променлива е необходимо да се намери допълнително производно на "X". Например, ако функцията съдържа променливите "X", "Y", "Z", трябва да намерите (DZ / DX) и (DZ / DY). Можете да направите това, като насочите функцията с "x" два пъти - за първи път ще добавите (DZ / DX) за всеки индивидуален член с "Z", а за втори път ще добавя (dz / dy) при диференциране "z". След това просто отделете (DZ / DX) и (DZ / DY).

Например, намерете XZ производно - 5xyz = x + y.

Първо, индефференция от "x" и добавете (dz / dx). Не забравяйте да приложите правилото за намиране на производно на функцията на функциите.

XZ - 5XYZ = X + Y

3XZ + 2xz (DZ / DX) - 5YZ - 5XY (DZ / DX) = 2x

3XZ + (2xz - 5XY) (DZ / DX) - 5YZ = 2x

(2xz - 5XY) (DZ / DX) = 2x - 3XZ + 5YZ

(DZ / DX) = (2x - 3XZ + 5YZ) / (2xz - 5XY)

Сега направете същото за (DZ / DY):

XZ - 5XYZ = X + Y

2xz (DZ / DY) - 25xYz - 5XY (DZ / DY) = 3Y

(2xz - 5XY) (DZ / DY) = 3Y + 25XYZ

(DZ / DY) = (3Y + 25XYz) / (2xz - 5XY)

Предупреждения

Обърнете внимание на членовете при диференциране, които е необходимо да се приложи правилото за намиране на производно на продукта или частните функции.