Как да намерим инфлексични точки на Криво

В диференциалното смятане, точката на инфлексията е тази точка на кривата, в която нейната кривина променя знака (от плюс до минус или с минус плюс). Тази концепция се използва в машиностроенето, икономиката и статистиката, за да се определят значителни промени в данните.

Стъпка

Метод 1 от 3:

Част 1: Определение на точката на инфлексията

един. Определяне на вдлъбната функция. Средата на всеки акорд (сегмент, свързващ две точки) на графиката на вдлъбната функция, е или под графика, или върху него.

Изображение, озаглавено намиране на точките на инфлексия стъпка 2

2. Дефиниция на изпъкнала функция. Средата на всеки акорд (сегмент, свързващ две точки) на графиката на изпъкналата функция, се крие или по график, или върху него.

Изображение, озаглавено намиране на точки на инфлексия стъпка 3

3. Дефиниране на корените на функцията. Функционален корен - това е стойността на променливата "X", при която y = 0.

При изграждане на графика на функцията на корените - това са точки, в които линията е х.

Метод 2 от 3:

Изчисляване на производните функции

един. Намерете първата деривативна функция. Погледнете правилата за диференциация в учебника - трябва да се научите да приемате първите деривати и само след това отидете на по-сложни изчисления. Първите производни са посочени като F `(X). За изрази на формата AX ^ P + BX ^ (P-1) + CX + D, първото производно е: APX ^ (P - 1) + B (P - 1) X ^ (P-2) + C.

Например, намерете точките на инфлексията на функцията F (x) = x ^ 3 + 2x -1. Първото производно на тази функция е:

F `(x) = (x ^ 3 + 2x - 1)` = (x ^ 3) `+ (2x)` - (1) `= 3x ^ 2 + 2 + 0 = 3x2 + 2

Изображение, озаглавено намиране на точки на инфлексия стъпка 5

2. Намерете втората деривативна функция. Второто производно е производно на първата получена функция на източника. Второто производно е посочено като f `` (x).

В горния пример, второто производно има формата:

f `` (x) = (3x2 + 2) `= 2 × 3 × x + 0 = 6x

Изображение, озаглавено Намерете точките на инфлексията Стъпка 6

3. Приравняват второто производно на нула и решава полученото уравнение. Резултатът ще бъде предвидена точка на инфлексия.

В горния пример изчислението е както следва:

F `` (x) = 0
6x = 0
x = 0

Изображение, озаглавено Намерете точките на инфлексията Стъпка 7

4. Намерете третата деривативна функция. Да се уверите, че полученият резултат е всъщност точка на инфлексия, намиране на трето производно, което произлиза от второто производно на оригиналната функция. Третото производно е посочено като F `` `(X).

В примера по-горе, третото производно е:

f `` `(x) = (6x)` = 6

Метод 3 от 3:

Част 3: Точка на търсенето на инфлексия

един. Проверете третото производно. Стандартно определяне на правилото на прогнозната точка на инфлексия: ако третото производно не е равно на нула (т.е. f `` `(x) ≠ 0), тогава предвидената точка на инфлексията е реална точка на инфлексия. Проверете третото производно - ако не е равно на нула, тогава сте намерили истинска точка на инфлексия.

В примера по-горе, третото производно е 6, а не 0. Затова сте намерили истинска точка на инфлексия.

Изображение, озаглавено намиране на точките на инфлексия стъпка 9

2. Намерете координатите на инфлексия. Координатите на точката на инфлексията са посочени като (X, F (X)), където X - стойността на независима променлива "X" при инфлексия, F (x) - стойността на зависимата променлива "Y" в точката на инфлексията.

В примера по-горе, с изравняване на второто производно до нула, открихте, че X = 0. За да се определят координатите на точката на инфлексията, намерете F (0). Вашето изчисление е както следва:

f (0) = 0 ^ 3 + 2 × 0-1 = -1.