Как да решават тригонометрични уравнения: 8 стъпки

Тригонометричното уравнение съдържа една или повече тригонометрични функции на променливата "X" (или друга променлива). Решението на тригонометровото уравнение е да се намери такава "X" стойност, която отговаря на функциите (функции) и уравнението като цяло.

Решенията на тригонометричните уравнения са изразени в градуси или радиани. Примери:

x = π / 3- x = 5π / 6- x = 3π / 2-x = 45 градуса = 37.12 градус = 178.37 градуса.

Забележка: Стойностите на тригонометричните функции от ъгли, изразени в радиани и от ъгли, изразени в градуси, са равни. Тригонометричният кръг с радиус, равен на един, служи за описание на тригонометричните функции, както и да се провери коректността на решаването на основните тригонометрични уравнения и неравенства.
Примери за тригонометрични уравнения:

SIN X + SIN 2x = 1/2-TG X + CTG X = 1.732;
Cos 3x + sin 2x = cos x-2sin 2x + cos x = 1 .

Тригономерен кръг с радиус, равен на един (единичен кръг).
Това е кръг с радиус, равен на един, и центъра в точката o. Един кръг описва 4 основни тригонометрични функции на променливата "X", където "X" е ъгъл, преброен от положителната посока на ос X обратно на часовниковата стрелка.
Ако "x" е някакъв ъгъл на един кръг, тогава:
Хоризонталната ос на OAH определя функцията F (x) = compi.
Вертикалната ос на Ovy определя функцията f (x) = sin x.
Вертикалната ос в дефинира функцията F (x) = tg x.
Хоризонталната ос на BU определя функцията F (x) = ctg x.

Обувният кръг се използва и при решаването на основните тригонометрични уравнения и неравенства (има различни разпоредби на "X").

Стъпка

един. Концепция за решаване на тригонометрични уравнения.

За решаване на тригонометричното уравнение, превърнете го в една или повече от основните тригонометрични уравнения. Разтворът на тригонометричното уравнение в крайна сметка се свежда до решаване на четири основни тригонометрични уравнения.

Изображение, озаглавено решаване на тригонометрични уравнения стъпка 2

2. Решение на основните тригонометрични уравнения.

Има 4 вида основни тригонометрични уравнения:

Sin x = a- cos x = a

Tg x = a- ctg x = a

Решението на основните тригонометрични уравнения предполага разглеждане на различни разпоредби на "X" на един кръг, както и използването на таблица за преобразуване (или калкулатор).

Пример 1. sin x = 0,866. Използвайки таблицата за преобразуване (или калкулатора), ще получите отговор: x = π / 3. Един кръг дава друг отговор: 2π / 3. Запомнете: Всички тригонометрични функции са периодични, т.е. техните стойности се повтарят. Например, честотата на SIN X и COS X е 2πn, а честотата на TG X и CTG X е равна на πn. Следователно отговорът е написан, както следва:

x1 = π / 3 + 2πn- x2 = 2π / 3 + 2πn.

Пример 2. Cos x = -1/2. Използвайки таблицата за преобразуване (или калкулатора), ще получите отговор: x = 2π / 3. Един кръг дава друг отговор: -2π / 3.

x1 = 2π / 3 + 2π x2 = -2π / 3 + 2π.

Пример 3. Tg (x - π / 4) = 0.

Отговор: x = π / 4 + πn.

Пример 4. CTG 2x = 1,732.

Отговор: x = π / 12 + πn.

Изображение, озаглавено решаване на тригонометрични уравнения стъпка 3

3. Трансформация, използвана в решаването на тригонометрични уравнения.

За трансформиране на тригонометрични уравнения се използват алгебрични трансформации (разлагане на мултипликатори, привеждане на хомогенни членове и t.Д.) и тригономство.

Пример 5. Използване на тригонометрични идентичности, SIN X + SIN 2X + SIN 3X = 0 уравнението се превръща в 4СО X * SIN уравнение (3x / 2) * COS (X / 2) = 0. По този начин следва да се решат следните основни тригонометрични уравнения: cos x = 0- sin (3x / 2) = 0- cos (x / 2) = 0.

Изображение, озаглавено решаване на тригонометрични уравнения Стъпка 4

4. Намиране на ъгъла на известните стойности на функциите.

Преди да изучавате методите за решаване на тригонометрични уравнения, трябва да научите как да намерите ъгли според известните стойности на функциите. Това може да се направи с помощта на таблица за преобразуване или калкулатор.

Пример: cos x = 0,732. Калкулаторът ще даде отговор x = 42.95 градуса. Един кръг ще даде допълнителни ъгли, чий косинус също е равен на 0.732.

Изображение, озаглавено решаване на тригонометрични уравнения стъпка 5

пет. Постулиране на решението за един кръг.

Можете да отложите твърдата конфигурация уравнение на един кръг. Решенията на тригонометричното уравнение на един кръг са върховете на правилния многоъгълник.

Пример: решения x = π / 3 + πn / 2an един кръг са върхове на квадрат.

Пример: Решения X = π / 4 + πn / 35 Един кръг е върховете на правилния шестоъгълник.

Изображение, озаглавено решаване на тригонометрични уравнения Стъпка 6

6. Методи за решаване на тригонометрични уравнения.

Ако това тригонометрично уравнение съдържа само една тригонометрична функция, решаване на това уравнение като основно тригонометрично уравнение. Ако това уравнение включва две или повече тригонометрични функции, има 2 метода за решаване на такова уравнение (в зависимост от възможността за нейната трансформация).

Метод 1.

Конвертиране на това уравнение към уравнението на формуляра: F (x) * g (x) * h (x) = 0, където f (x), g (x), h (x) - основните тригонометрични уравнения.

Пример 6. 2cos x + sin 2x = 0.(0 < x>

Решение. Използвайки формулата на двоен ъгъл 2x = 2 * sin x * cos, заменете sin 2x.

2sss x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Сега решете двете основни тригонометрични уравнения: cos x = 0 и (sin x + 1) = 0.

Пример 7.Cos x + cos 2x + cos 3x = 0.(0 < x>

Решение: Използване на тригонометрични идентичности, преобразуваното уравнение към уравнението на формуляра: COS 2x (2COS X + 1) = 0. Сега решете двете основни тригонометрични уравнения: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.

Пример 8.SIN X - SIN 3X = cos 2x .(0 < x>

Решение: Използване на тригонометрични идентичности, преобразуваното уравнение към уравнението на типа: -COS 2x * (2sin x + 1) = 0. Сега решете двете основни тригонометрични уравнения: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0.

Метод 2.

Конвертиране на това тригонометрично уравнение на уравнение, съдържащо само една тригонометрична функция. След това замени тази тригонометрична функция на някои неизвестни, например, t (sin x = t- cos x = t- cos 2x = t, tg x = t- tg (x / 2) = t и t.Д.Чест.

Пример 9. 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 < x>

Решение. В това уравнение заменете (cos ^ 2 x) на (1 - sin ^ 2 x) (според самоличността). Трансформираното уравнение е:

3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Замени греха x на t. Сега уравнението е: 5T ^ 2 - 4T - 9 = 0. Това е квадратно уравнение с два корена: t1 = -1 и t2 = 9/5. Вторият корен T2 не отговаря на стойностите на функционалните стойности (-1 < sin>

Пример 10. TG X + 2 TG ^ 2 x = CTG X + 2

Решение. Recometg x на t. Пренапишете първоначалното уравнение в следната форма: (2T + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Сега намерете t, и след това намерете x за t = tg x.

Изображение, озаглавено решаване на тригонометрични уравнения Стъпка 7

7. Специални тригонометрични уравнения.

Има няколко специални тригонометрични уравнения, които изискват специфични трансформации. Примери:

a * sin x + b * cos x = c - a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;

A * SIN ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0

Изображение, озаглавено решаване на тригонометрични уравнения стъпка 8

Осем. Периодичност на тригонометрични функции.

Както бе споменато по-рано, екстраригонометричните функции са периодични, т.е. техните стойности се повтарят след определен период. Примери:

Функционалната функция (x) = sin x е 2π.

Функционалната функция (x) = tg x е равна на π.

Функцията функция (x) = sin 2x е равна на π.

Функционалната функция (x) = cos (x / 2) е 4π.

Ако периодът е посочен в задачата, изчислете стойността "X" в този период.

ЗАБЕЛЕЖКА: Тригонометричен собствен капитал - трудна задача, която често води до грешки. Следователно внимателно проверете отговорите. За да направите това, можете да използвате графичен калкулатор за изграждане на графика на това уравнение r (x) = 0. В такива случаи решенията ще бъдат представени под формата на десетични фракции (т.е. π се заменя с 3.14).