Как да решават уравнения с корен (с илюстрации)

Въпреки плашещия вид на квадратния корен символ и може да накара човек да се свие, да не е силен в математиката, задачите с квадратен корен не са толкова трудни, както първо може да изглежда. Простите задачи с квадратен корен съвсем често могат да бъдат решени толкова лесно, колкото конвенционалните задачи с умножение или разделение. От друга страна, по-сложните задачи могат да изискват известно усилие, но с правилния подход, дори те няма да ви цитират. Започнете да решавате задачи с корена днес, за да научите тази радикална нова математическа способност!

Стъпка

Част 1 от 3:

Разбиране на квадратите на числата и квадратните корени

един. Изграждане на число на квадрат, умножавайки го сам по себе си. За да разберете квадратните корени, по-добре е да започнете с квадрати на числа. Квадратите на числата са доста прости: изграждането на номера на квадрат означава само по себе си. Например, 3 на квадрата е същата като 3 × 3 = 9 и 9 на квадрата е същата като 9 × 9 = 81. Квадратите са маркирани с писане на малък брой "2" надясно над номера на височина. Пример: 3, 9, 100 и т.н.

Опитайте се да изградите още няколко номера до площада, за да изпробвате тази концепция. Не забравяйте, че издигането на номера на квадрат означава, че този номер трябва да се умножи сам по себе си. Това може да се направи дори за отрицателни числа. В този случай резултатът винаги ще бъде положителен. Например: -8 = -8 × -8 = 64.

Изображение, озаглавено Решаващ квадратен корен Проблеми Стъпка 2

2. Когато става въпрос за квадратни корени, тогава има обратен процес на изграждане на квадрат. Символът на корена (√, той се нарича радикал) по същество означава обратното на символа . Когато видите радикал, трябва да си зададете: "Какъв номер може да се умножи сам по себе си, за да получите номер под корена?". Например, ако видите √ (9), тогава трябва да намерите номера, който, когато сме на площада, ще даде номер девет. В нашия случай този номер ще бъде три, защото 3 = 9.

Помислете за друг пример и открийте корена от 25 (√ (25)). Това означава, че трябва да намерим номер, който на площада ни даде 25. От 5 = 5 × 5 = 25, можем да кажем, че √ (25) = 5.

Можете също така да мислите за това като "отнемане" на изграждането на площада. Например, ако трябва да намерим √ (64), квадратен корен 64, тогава да помислим за това, както около 8. Тъй като символът на корена "отменя" изграждането на площада, можем да кажем, че √ (64) = √ (8) = 8.

Изображение, озаглавено решаване на квадратен корен проблеми стъпка 3

3. Знайте разликата между идеалния и не перфектна конструкция на площада. Досега отговорите на нашите задачи с корена бяха добри и кръгли числа, но не винаги е така. Square Root задачите Отговорите могат да бъдат много дълги и неудобни числа с десетична фракция. Числата, чийто корен е цели числа (с други думи, номера, които не са фракции) се наричат пълни квадрати. Всички гореспоменати примери (9, 25 и 64) са пълни квадрати, защото коренът им ще бъде цяло число (3.5 и 8).

От друга страна, числата, които по време на изграждането на корена не дават цяло число, се наричат непълни квадрати. Ако поставите един от тези цифри под корена, тогава ще получите номер с десетична фракция. Понякога такъв номер може да е много дълъг. Например, √ (13) = 3,60551275464...

Изображение, озаглавено решаващ квадратен корен проблеми стъпка 4

4. Помнете първите 1-12 пълни квадрати. Както вероятно вече сте забелязали, намерете пълен квадратен корен е доста лесно! Поради факта, че тези задачи са толкова прости, си струва да се припомнят корените на първите дузини площадки. Вие няма да попаднете отново на тези числа, така че прекарвате малко време, за да си спомняте рано и да спестите време в бъдеще.

1 = 1 × 1 = един

2 = 2 × 2 = 4

3 = 3 × 3 = девет

4 = 4 × 4 = шестнадесет

5 = 5 × 5 = 25

6 = 6 × 6 = 36

7 = 7 × 7 = 49

8 = 8 × 8 = 64

9 = 9 × 9 = 81

10 = 10 × 10 = 100

11 = 11 × 11 = 121

12 = 12 × 12 = 144

Изображение, озаглавено Решаващ квадратен корен Проблеми Стъпка 5

пет. Опростяване на корените, като премахнете пълните квадратчета от него, ако е възможно. Намерете непълен квадратен корен понякога не е лесно, особено ако не използвате калкулатор (в раздел по-долу ще намерите няколко трика, как да направите този процес по-лесен). Въпреки това често е възможно да се опрости броят под корена, така че да е по-лесно да се работи с него. За да направите това, просто трябва да разделите номера под корена на факторите, а след това да намерите корена на множителя, който е пълен квадрат и го напишете извън корена. Това е по-лесно, отколкото изглежда. Прочетете, за да получите повече информация.

Да предположим, че трябва да намерим квадратен корен 900. На пръв поглед изглежда доста тежко! Въпреки това, тя няма да бъде толкова трудно, ако разделим номер 900 за множителите. Земеделските производители са числа, които се умножават един от друг, за да дадат нов номер. Например, числото 6 може да бъде получено, умножаване на 1 × 6 и 2 × 3, неговите мултипликатори ще бъдат числа 1, 2, 3 и 6.

Вместо да търсите корена на числото 900, което е малко трудно, нека да пием 900, като умножение от 9 × 100. Сега, когато номер 9, който е пълен квадрат, отделен от 100, можем да намерим своя корен. √ (9 × 100) = (9) × √ (100) = 3 × √ (100). С други думи, √ (900) = 3√ (100).

Можем дори да отидем още повече, да разделим 100 до два фактора, 25 и 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Следователно можем да кажем, че √ (900) = 3 (10) = 30

Изображение, озаглавено Решаване на квадратни корени Проблеми Стъпка 6

6. Използвайте въображаеми числа, за да намерите корена на отрицателното число. Запитайте се какъв номер, когато се умножи, ще даде -16? Това не е 4 и не -4, тъй като изграждането на тези числа на площада ще ни даде положително число 16. Предаден? Всъщност няма начин да се напише корен -16 или друг отрицателен брой обикновени номера. В този случай трябва да заменим въображаемите числа (обикновено под формата на букви или символи), така че те да са вместо корена на отрицателното число. Например, променливата "i" обикновено се използва за изграждане на номер -1 корен. Като правило, коренът на отрицателно число винаги ще бъде въображаем номер (или включен в него).

Знаят, че въпреки че въображаемите номера не могат да бъдат представени с конвенционални номера, те все още могат да бъдат третирани като такива. Например, квадратен корен от отрицателно число може да бъде повдигнат в квадрат, за да се даде тези отрицателни числа, като всеки друг квадратен корен. Например, i = -един

Част 2 от 3:

Използване на пищен алгоритъм за дивизия

един. Запишете задачата с корена като задачата да се разделите на колоната. Въпреки че може да отнеме доста време, така че можете да разрешите проблема с корена на непълни квадратчета, без да прибягвате до помощта на калкулатора. За да направите това, ние ще използваме разтвора (или алгоритъм), който е подобен (но не съвсем същото) на обичайното разделение от колоната.

За да започнете, запишете задачата с корена в същата форма, както при разделянето на колона. Да предположим, че искаме да намерим квадратен корен на броя 6.45, който определено не е пълен квадрат. Първо пишем обичайния квадратен символ, а след това под него ще напишем номер. След това нарисуваме линия над номера, така че да се окаже в малка "кутия", както и при разделяне на колона. След това ще имаме корен с дълга опашка и редица 6.45 под него.
Над корена ще напишем номера, така че не забравяйте да напуснете там.

Изображение, озаглавено Решаване на квадратни корени проблеми Стъпка 8

2. Гръмни номера на двойки. За да започнете решаването на задачата, е необходимо да се групирате номера на номера под двойката двойки, като се започне от точката в десетичната фракция. Ако искате, можете да направите малки марки (като точки, наклонена линия, запетаи и т.н.) между двойки, за да не се обърка.

В нашия пример ние трябва да разделим броя 6.45 на двойките, както следва: 6-, 45-00. Моля, обърнете внимание, че "останалата" цифра присъства вляво - това е нормално.

Изображение, озаглавено Решаващ квадратен корен Проблеми Стъпка 9

3. Намерете най-голям номер, чийто квадрат е по-малък или равен на първата "група". Започнете от първия ден или двойка вляво. Изберете най-голям брой, чийто квадрат е по-малък или равен на оставащата "група". Например, ако групата е равна на 37, бихте избрали номер 6, защото 6 = 36 < 37> 37. Запишете този номер над първата група. Това ще бъде първата цифра от отговора ви.

В нашия пример първата група от 6-, 45-00 ще бъде номер 6. Най-голямото число, което на площада ще бъде по-малко или равно на 6 е 2 = 4. Напишете номер 2 над номер 6, който е под корена.

Изображение, озаглавено Решаване на квадратни корени проблеми Стъпка 10

4. Двойно само написани числа, след това го спуснете под корена и отнемете. Вземете първата цифра от отговора си (номерът, който току-що сте намерили) и го удвоите. Запишете резултата под първата си група и отнемете, за да намерите разликата. Намалете следващите няколко числа до отговора. Накрая пишете в лявата последна цифра удвояване на първата цифра от отговора си и останете наблизо.

В нашия пример ще започнем с удвояване на фигури 2, което е първата цифра на нашия отговор. 2 × 2 = 4. След това вземаме 4 от 6 (първата ни "група"), след като получих 2. След това пропускаме следната група (45), за да получите 245. И накрая, отляво, ние отново ще напишем още 4, оставяйки в края малко пространство, подобно на това: 4_

Изображение, озаглавено Решаване на квадратни корени Проблеми Стъпка 11

пет. Напълнете празнината. След това трябва да добавите цифра в дясната част на записания номер, който е оставен. Изберете цифра, движеща се с новия си номер, ще получите най-важния резултат, но който би бил по-малък или равен на "пропуснатия" номер ". Например, ако вашият "спуснат" номер е 1700, и вашият номер отляво е 40_, е необходимо да се напише цифра на цифрата 4, като 404 × 4 = 1616 < 1700>

В нашия пример трябва да намерим номера и да го напишем в пропуските 4_ × _, което ще направи отговора колкото е възможно повече, но все още по-малък или равен на 245. В нашия случай това е фигура 5. 45 × 5 = 225, докато 46 × 6 = 276

Изображение, озаглавено Решаващ квадратен корен Проблеми Стъпка 12

6. Продължете да използвате "празни" номера, за да намерите отговора. Продължете да решавате тази модифицирана раздела по колоната, докато не започнете да получавате нули при изваждане на "спуснат" номер или докато получите желаното ниво на точност на отговор. Когато приключите, номерата, които сте използвали за попълване на пропуските във всяка стъпка (плюс първото число) ще бъде броят на вашия отговор.

Продължавайки нашия пример, отнемаме 225 от 245, за да получим 20. След това ще намалим следващата двойка числа, 00, за да получите 2000. Удвояване на броя над корена. Получаваме 25 × 2 = 50. Решаване на пример с интервали, 50_ × _ = /< 2>

Изображение, озаглавено решаване на червени корени проблеми Стъпка 13

7. Преместете точката на десетичната фракция напред от първоначалния номер "Divide". За да завършите отговора си, трябва да поставите десетична точка на правилното място. За щастие, направете го доста лесно. Всичко, което трябва да направите, е да го подравните по отношение на точката на първоначалния номер. Например, ако броят на 49.8 ще бъде под корена, ще трябва да поставите точка между две цифри над девет и осем.

В нашия пример, под радикала има редица 6.45, така че просто преместваме точката и я поставяме между числата 2 и 5 в нашия отговор, след като получим отговор, равен на 2,539.

Част 3 от 3:

Бързо изчисляване на непълни площади

един. Намерете непълни квадрати, като ги изчислите. Когато си спомняте пълните площади, търсенето на корен на непълни квадрати ще бъде много по-лесно. Тъй като вече знаете десетина пълни квадрати, всеки номер, който попада в зоната между тези два пълни квадрати, може да бъде намерен, минимизира всичко за приблизителното изчисление между тези стойности. Започнете с търсенето на два пълни квадрати, между която е вашият номер. След това определете кои от тези цифри вашият номер е по-близо.

Например, да предположим, че трябва да намерим квадратен корен на числото 40. Тъй като си спомним пълните площади, можем да кажем, че числото 40 е между 6 и 7, числата 36 и 49. От 40 повече от 6, нейният корен ще бъде повече от 6 и тъй като е по-малък от 7, нейният корен също ще бъде по-малък от 7. 40 е малко по-близо до 36, отколкото от 49, така че отговорът е вероятно да бъде малко по-близо до 6. В следващите няколко стъпки, ние нашия отговор.

Изображение, озаглавено решаване на квадратни проблеми Стъпка 15

2. Изчислете квадратния корен до първия знак след десетичната точка. След като изберете два пълни квадрати, между които се намира вашият номер, всичко се свежда до изчислението, докато получите желания отговор. Колкото повече се изчислява, толкова по-точен ще бъде вашият отговор. Започнете с факта, че изберете къде да поставите точка на десетична част в отговора си. Не трябва да е сигурно, че е вярно, но ще спестите време, ако използвате логика и поставете точката възможно най-близо до верния отговор.

В нашия пример една разумна оценка на квадратен корен от числото 40 може да бъде 6.4, като въз основа на горната информация, ние знаем, че отговорът е по-близо до 6 от 7.

Изображение, озаглавено Решаване на квадратни корени Проблеми Стъпка 16

3. Умножете приблизителния брой само по себе си. Следващото нещо, което трябва да направите, е да изправите приблизителен брой на квадрат. Най-вероятно няма да имате късмет и няма да получите първоначалния номер. Тя ще бъде или малко голяма, или малко по-малка. Ако вашият резултат е твърде голям, опитайте отново, но с малко по-малък приблизителен номер (и напротив, ако резултатът е твърде нисък).

Умножете се 6.4, и ще получите 6.4 × 6,4 = 40.96, което е малко повече за първоначалния номер.

Тъй като нашият отговор се оказа повече, трябва да умножим редица едно десети по-малко за приблизителни и да получим следното: 6.3 × 6,3 = 39.69. Това е малко по-малко за първоначалния номер. Това означава, че квадратният корен 40 е между 6.3 и 6.4. И отново, като 39.69 по-близо до 40 от 40.96, ние знаем, че квадратният корен ще бъде по-близо до 6.3, отколкото до 6.4.

Изображение, озаглавено Решаване на квадратни корени Проблеми Стъпка 17

4. Продължете изчислението. На този етап, ако сте доволни от отговора си, можете просто да направите първата предположение приблизителна стойност. Въпреки това, ако искате да получите по-точен отговор, всичко, което трябва да направите, е да изберете приблизителна стойност с два признания на десетична фракция, която поставя тази приблизителна стойност между първите две числа. Продължавайки това броене, можете да получите три, четири и повече точка и запетая за вашия отговор. Всичко зависи от това колко далеч искате да отидете.

В нашия пример, нека да изберем 6.33 като приблизителна стойност с две десетични плочи. Умножете 6.33 само по себе си, за да получите 6.33 × 6,33 = 40,0689. Тъй като това е малко повече от нашия номер, ние ще вземем номера по-малък, например, 6.32. 6.32 × 6,32 = 39.9424. Този отговор е малко по-малък от нашия номер, така че знаем, че точният квадратен корен е между 6.32 и 6.33. Ако искахме да продължим, ще продължим да използваме същия подход, за да получим отговор, който ще стане по-точен и по-точен.

Съвети

За да намерите бързо решения, използвайте калкулатора. Повечето съвременни калкулатори могат незабавно да намерят квадратен корен на броя. Всичко, което трябва да направите, е да въведете номера си и след това кликнете върху бутона с коренния знак. Например, за да намерите корена 841, ще трябва да натиснете 8, 4, 1 и (√). В резултат на това ще получите отговор 39.