Как да опростим ръководството

Анферран израз е алгебричен израз, който е под знака на корена (квадрат, кубичен или по-висок ред). Понякога стойностите на различните изрази могат да бъдат еднакви, например, 1 / (√2 - 1) = √2 + 1. Опростяването на експресията за хранене е предназначено да го доведе до някаква канонична форма на записване.Ако две изрази, които са записани в канонична форма, все още са различни, техните стойности не са равни. По математика се смята, че каноничната форма на записване на изрази за хранене (както и изрази с корени) отговаря на следните правила:

Ако е възможно, се отървете от фракцията под знака на корен
Отървете се от експресията с фракционен индикатор
Ако е възможно, се отървете от корените в знаменателя
Отървете се от операцията по умножение на корен
Под знака на корена трябва да оставите само тези членове, от които цели число корен не може да бъде извлечено

Тези правила могат да бъдат приложени към изпълнението на тестовите задачи. Например, ако решите да зададете задача, но резултатът не съответства на нито един от дадените отговори, запишете резултата в канонична форма. Имайте предвид, че отговорите на тестовите задачи са дадени в канонична форма, така че ако напишете резултата в същата форма, можете лесно да определите правилния отговор. Ако задачата е необходима за "опростяване на отговора" или "опростяване на изразите за хранене", е необходимо да се записва резултатът в канонична форма. Освен това, каноничната форма опростява решението на уравненията, въпреки че с някои уравнения е по-лесно да се справим ако за известно време забравяйте за каноничната форма на записване.

Стъпка

един. Ако е необходимо, не забравяйте правилата за извършване на операции с корените и Степени (Запомнете: ръководеният израз е израз с фракционен индикатор на степента), защото такива правила ще бъдат необходими в бъдеще. Освен това, не забравяйте правилата за обжалване и опростяване на полиномите и Рационални изрази.

Метод 1 от 6:

Да се отървете от пълните квадрати и пълните кубчета

един. Опростяване на експресията за хранене, която е пълен квадрат. Пълният квадрат е число, което е квадрат от някакво цяло число, например, 81 е пълен квадрат, защото 9 ^ 2 = 9 x 9 = 81. За да се опростят експресията за хранене, който е пълен квадрат, просто се отървете от коренния знак и запишете цяло число (когато площадът ще бъде на площада).

Например, 121 е пълен квадрат, защото 11 x 11 = 121. Така, √121 = 11 (т.е. ние се отърваваме от корена и пишем цяло число).
За да се улеснят изчисленията, запомнете следните пълни квадрати: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 х 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144.

2. Опростете кондиционирания израз, който е пълен с куб. Един пълен куб е число, което е куб от някакво число, например, 27 е пълен куб, защото 3 ^ 3 = 3 x 3 x 3 = 27. За да се опростят експресията за хранене, която е пълен куб, просто се отървете от коренния знак и запишете цяло число (когато кубът ще бъде в куба).

Например, 343 е пълен куб, защото 7 x 7 x 7 = 343. Така кубичният корен от 343 е 7.

Метод 2 от 6:

Да се отървете от изразяване с фракционен индикатор

Конвертирайте експресията с фракционен индикатор в ръководен израз. Или, ако е необходимо, превръща конвертирания експресия в експресия с фракционен индикатор, но никога не смесвайте такива изрази в едно уравнение, например, както следва: √5 + 5 ^ (3/2). Да предположим, че сте решили да работите с корен квадратен корен от n, който обозначаваме като ang и кубичният корен на n като куб.

един. Намерете израз с фракционен индикатор и го превръщате в експресия на ръководството: X ^ (A / B) = B-THED корен от x ^ a.

Ако степента на корена е фракция, и се отървете от него. Например, корен от 2 / трета степен от 4 = (√4) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8.

2. Конвертиране на експресията с отрицателен индикатор към съответния фракционен израз: x ^ (- y) = 1 / x ^.

Това се отнася само за постоянни, рационални показатели. Когато терминът съдържа променлива, например, 2 ^ x, не го докосвайте, дори ако променливата "X" е фракционна или отрицателна.

Дават такива членове и опростяване на рационални изрази.

Метод 3 от 6:

Да се отървете от фракциите под знака на корена

Съгласно каноничната форма на запис, коренът на фракцията трябва да бъде представен като коренова дивизия от цели числа.

един. Погледнете изражението на човека. Ако е фракция, преминете към следващата стъпка.

2. Сменете корена на фракцията с съотношението на два корена според следната идентичност: √ (a / b) = √a / √b.

Не използвайте тази идентичност, ако знаменателят е отрицателен или включва променлива, която може да е отрицателна. В този случай първо опростете фракцията.

3. Опростете пълните квадрати (ако има такива). Например, √ (5/4) = √5 / √4 = (√5) / 2.

4. Извършват други опростявания, като например, Опростете композитни фракции, Донесете такива членове и така нататък.

Метод 4 от 6:

Да се отървете от операцията по умножение на културите

един. Ако уравнението присъства в операцията за умножение на root радиация, Комбинирайте две подвижни изрази под един корен знак Според идентичността: √a * √b = √ (AB). Например, √2 * √6 = √12.

Тази идентичност е валидна само когато подкотърните изрази не са отрицателни. Например, √ (-1) * √ (-1) ≠ √ (1) - тук изразът в ляво е -1 (или не е дефиниран, ако не знаете как да работите със сложни числа) и изразяването на Правото е +1, т.е. идентичността не е изпълнена. Ако "a" и / или "b" има отрицателна стойност, използвайте въображаема единица, която е показана като i: √ (-5) = i * √5. Ако състоянието на целевия израз не е известно от условията на проблема (т.е. може да бъде положителен или отрицателен), не докосвайте такъв израз. Или използвайте по-обща идентичност: √a * √b = √ (SGN (A)) * √ (SGN (B)) * √ (| ab |), който се извършва за всички валидни номера "a" и "b" , но като правило не е необходимо да се усложнява решаването на проблема поради въвеждането на постоянна функция на парче (SGN).
Тази идентичност е приложима само когато корените имат еднаква степен. За да умножите корените с различни степени, първо трябва да ги преобразувате в корените със същата степен. Например, √5 * cube√77. Временно преобразува изразите на хранене в изрази с фракционни индикатори: √5 * cube√7 = 5 ^ (1/2) * 7 ^ (1/3) = 5 ^ (3/6) * 7 ^ (2/6) = 125 ^ (1/6) * 49 ^ (1/6) = (125 * 49) ^ (1/6) = 6125 ^ (1/6). Това означава, че се оказа коренът на 6-та степен от 6125.

Метод 5 от 6:

Да се отървете от множителите, които са пълни квадрати

един

Декларация Брой номер. Земеделските производители са някои числа, когато се умножават, което се получава първоначалният номер. Например, 5 и 4 са два множителя от числа 20. Ако цяло число корен не може да бъде премахнат от миналия номер, разпространява такъв номер за възможни мултипликатори и намиране на пълен квадрат сред тях.

Например, запишете всички мултипликатори на числото 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 е множител 45 (9 x 5 = 45) и пълен квадрат (9 = 3 ^ 2).

2. Вземете мултипликатор за коренния знак, който е пълен квадрат. 9 е пълен квадрат, защото 3 x 3 = 9. Да се отървете от 9 под знака на корена и напишете 3 преди знака на корена - под знака на корена ще остане 5. Ако направите номер 3 под коренния знак, той ще се умножи сам по себе си и номер 5, т.е. 3 x 3 x 5 = 9 x 5 = 45. Така, 3√ 5 е опростена форма на запис √45.

√45 = √ (9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

3. Намерете пълен квадрат в отделеното изразяване с променлива. Запомнете: √ (a ^ 2) = | a |. Такъв израз може да бъде опростен до "А", но само ако променливата взема положителни стойности. √ (a ^ 3) може да бъде разложен в √a * √ (a ^ 2), защото когато се умножават същите променливи, техните индикатори са сгънати (a * a ^ 2 = a ^ 3).

Така, в изразяването на ^ 3, пълен квадрат е ^ 2.

4. Вземете променлива за коренния знак, който е пълен квадрат. Да се отървете от ^ 2 под коренния знак и запишете "a" преди знака на корена. По този начин, √ (a ^ 3) = a√a.

пет. Дават такива членове и опростяване на рационални изрази.

Метод 6 от 6:

Облекчение от корените в знаменателя (рационализация на знаменателя)

един. Според канонична форма Знак, Ако е възможно, цели числа трябва да включват (или полином в случай на променливо присъствие).

Ако знамението е неравноподобно под знака на корена, например, [числител] / √5, умножи числа и знаменател в този корен: ([числител] * √5) / (√5 * √5) = ([числител] t * √5) / пет.

В случай на кубичен корен или корен по-голяма степен умножават цифровия и знаменател в корена с монтиран израз в подходяща степен, за да се рационализира знаменателят. Ако, например, в знаменателя има куба√5, умножете числителя и знаменателя за кубчета (5 ^ 2).

Ако знаменателят е израз под формата на сума или разликата в квадратните корени, като √2 + √6, умножете числителя и знаменателя за конюгат, т.е. изразът с противоположния знак между неговите членове. Например: [числител] / (√2 + √6) = ([числител] * (√2 - √6)) / (((√2 + √6) * (√2 - √6)). След това, използвайки формулата на квадратната разлика ((A + B) (a - b) = a ^ 2 - b ^ 2) рационализиране на знаменателя: (√2 + √6) (√2 - √6) = (√ 2) ^ 2 - (√6) ^ 2 = 2 - 6 = -4.

Формулата за квадратна разлика може също да бъде приложена към експресията на формата 5 + √3, защото всеки цяло число е квадратен корен от друго цяло число. Например: 1 / (5 + √3) = (5 - √3) / ((5 + √3) (5 - √3)) = (5 - √3) / (5 ^ 2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3) / (25 - 3) = (5 - √3) / 22

Този метод може да бъде приложен към сумата от квадратни корени, като √5 - √6 + √7. Ако е да се групирате този израз във формата (√5 - √6) + √7 и го умножете на (√5 - √6) - √7, не се отървете от корените и да получите израз на Тип A + B * √30, където "a и" b "- необразован без корен. След това полученият израз може да се умножи по конюгата: (a + b * √30) (a - b * √30), за да се отървете от корените. Това е, ако можете да използвате конюгатния израз, веднъж, за да се отървете от определен брой корени, тогава те могат да се използват колкото е възможно повече, за да се отърват от всички корени.

Този метод се прилага и за корените на по-високите градуси, например, до експресията "4-та степен на корен от 3 плюс корен от 9 градуса 9". В този случай, умножете зърното и знаменателя в експреса, конюгатен израз в знаменателя. Но тук конюгатът ще бъде малко по-различен в сравнение с описаните по-горе. За този случай може да се чете в учебници на алгебра.

2. Опростете цифровия, след като сте се отървали от корените в знаменателя. В числителя има продукт на оригиналния израз и конюгата. Отворени скоби, преместване на съответните членове. Донесете такива членове и, ако можете, опростете произтичащия израз.

3. Ако знаменателят е отрицателно цяло число, умножете цифровия и знаменател на -1, за да конвертирате този номер в положителен.

Съвети

В интернет има ресурси, които автоматично опростят изразите на хранене. Просто трябва да въведете експресията си за хранене и натиснете ENTER, за да покажете опростен израз.
За някои прости задачи, описаните методи не могат да бъдат приложени. В случай на някои сложни задачи, тези методи трябва да се прилагат повече от веднъж. Стъпка по стъпка Опростете получените изрази и след това проверете дали е написан окончателният отговор в каноничната форма, чиито критерии са дадени в самото начало на тази статия. Ако отговорът е представен в канонична форма, задачата е решена - в противен случай се възползват от описаните методи.
Като правило, каноничната форма на запис се отнася за сложни числа (I = √ (-1)). Дори ако сложният номер е написан във формата, а не на корена, по-добре е да се отървете от мен в знаменателя.
Някои от описаните тук методи предполагат работа с квадратни корени. Общите принципи са еднакви за кубичните корени или корени с по-високи степени, но са доста трудно да се прилагат някои методи (по-специално, метода на рационализация на знаменателя). Освен това попитайте учителя за правилния запис на корените (Cube√4 или Cube√ (2 ^ 2)).
В някои раздели на тази статия концепцията за "канонична форма" не се използва не съвсем правилно - всъщност трябва да говорим за "стандартната форма". Разликата се крие във факта, че каноничната форма изисква да се записва 1 + √2, или √2 + 1-стандартен формуляр предполага, че и двете изрази (1 + √2 и √2 +1) са несъмнено равни, дори ако са записани в различни начини. Тук, под "несъмнено" аритметично (добавяне на комутативни), и не алгебрични свойства (√2 е неотрицателен корен на x ^ 2-2).
Ако описаните методи изглеждат двусмислени или противоречат помежду си, изпълняват последователни и недвусмислени математически действия и напишете отговора, тъй като учителят изисква или е приет в учебника.