Как да направим диаграма на квадратно уравнение: 10 стъпки

График на квадратното уравнение на Ax + BX + C или A (X - H) + K е парабола (U-образна крива). За да се изгради графика на такова уравнение, е необходимо да се намери върхът на парабола, неговата посока и пресичащи точки с осите X и Y. Ако ви бъде дадено сравнително просто квадратно уравнение, тогава можете да замените различни стойности на "x", за да намерите съответните стойности на "Y" и да изградите график.

Стъпка

един. Квадратното уравнение може да бъде записано в стандартен формуляр и в нестандартна форма. Можете да използвате всякакъв вид уравнение за изграждане на квадратно уравнение (методът на строителство е малко по-различен). По правило, по задачи, квадратните уравнения са дадени в стандартен формуляр, но тази статия ще ви разкаже за двата вида запис на квадратното уравнение.

Стандартен външен вид: f (x) = ax + bx + c, където a, b, c - валидни числа и a ≠ 0.

Например, две стандартни уравнения: f (x) = x + 2x + 1 и f (x) = 9x + 10x -8.

Нестандартни облик: F (x) = a (x - h) + k, където a, h, k - валидни номера и a ≠ 0.

Например, две нестандартни уравнения: F (x) = 9 (x - 4) + 18 и -3 (x - 5) + 1.

За да изградите графика на квадратно уравнение от всякакъв вид, първо трябва да намерите Peyabol Vertex, който има координати (H, K). Координатите на върховете на Peyabol в стандартните уравнения се изчисляват, като се използват формулите: H = -B / 2A и K = F (H) - координатите на крайбрежния връх в уравненията на нестандартните видове могат да бъдат получени директно от уравненията.

Image озаглавен графиката на квадратично уравнение стъпка 2

2. За изграждане на графика е необходимо да се намерят цифрови стойности на коефициентите А, В, С (или А, Н, К). В повечето задачи са дадени квадратни уравнения с цифрови стойности на коефициентите.

Например, в стандартното уравнение f (x) = 2x + 16x + 39 a = 2, b = 16, c = 39.

Например, в нестандартно уравнение F (x) = 4 (x - 5) + 12, a = 4, h = 5, k = 12.

Image озаглавен графиката на квадратично уравнение стъпка 3

3. Изчислете Н в стандартното уравнение (в нестандартно то вече е дадено) по формулата: H = -b / 2a.

В нашия пример за стандартното уравнение f (x) = 2x + 16x + 39 h = -b / 2a = -16/2 (2) = -4.

В нашия пример за нестандартно уравнение (x) = 4 (x - 5) + 12 h = 5.

Изображение, озаглавена графиката на квадратично уравнение стъпка 4

4. Изчислете k в стандартното уравнение (в нестандартно вече е дадено). Не забравяйте, че k = f (h), т.е. можете да намерите k, замествайки намерената стойност h в оригиналното уравнение вместо "x".

Открихте, че H = -4 (за стандартното уравнение). За да изчислите k, заменете тази стойност вместо "x":

K = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.

K = 2 (16) - 64 + 39.

k = 32 - 64 + 39 = 7

В нестандартното уравнение k = 12.

Image озаглавен графиката квадратично уравнение стъпка 5

пет. Нанесете върха с координати (H, K) върху координатната равнина. Н е отложена по оста х и К - по оста y. Горната част на парабола е ниска точка (ако параболата е насочена), или самата горната точка (ако параболата е насочена надолу).

В нашия пример за стандартното уравнение, пикът има координати (-4, 7). Приложете тази точка на координатовата равнина.

В нашия пример за нестандартно уравнение, пикът има координати (5, 12). Приложете тази точка на координатовата равнина.

Изображение, озаглавена графиката квадратично уравнение стъпка 6

6. Прекарайте оста на симетрия Parabolas (по избор). Ос от симетрия преминава през горната част на парабалела, успоредна на оста Y (това е стриктно вертикално). Ос от симетрия разделя парабола наполовина (т.е. Парабола е огледална симетрична за тази ос).

В нашия пример за стандартното уравнение осната ос е права, паралелна ос и преминава през точката (-4, 7). Въпреки че това е директно и не е част от самата парабола, тя дава представа за симетрията на Парабола.

Image озаглавен графиката на квадратично уравнение стъпка 7

7. Определят посоката на парабола - нагоре или надолу. Много е лесно да се направи. Ако коефициентът "А" е положителен, тогава Parabola е насочен нагоре и ако коефициентът "А" е отрицателен, тогава Parabola е насочен надолу.

В нашия пример на стандартното уравнение F (x) = 2x + 16x + 39 Parabola е насочено нагоре, тъй като A = 2 (положителен коефициент).

В нашия пример за нестандартно уравнение f (x) = 4 (x - 5) + 12 parabola също е насочен, тъй като A = 4 (положителен коефициент).

Изображение, озаглавена графиката на квадратично уравнение стъпка 8

Осем. Ако е необходимо, намерете и приложите точките за пресичане с оста X. Тези точки ще ви помогнат при изграждането на Parabola. Може да има две, един или не един (ако параболата е насочена нагоре, а горната част е над ос X, или ако параболата е насочена надолу, и нейният връх е под ос от ос). За да се изчислят координатите на точките за пресичане с оста, изпълнете следните стъпки:

Приравняват уравнението на нула: f (x) = 0 и да го решите. Този метод работи с прости квадратни уравнения (особено нестандартни видове), но може да бъде изключително трудно в случай на сложни уравнения. В нашия пример:

f (x) = 4 (x - 12) - 4

0 = 4 (x - 12) - 4

4 = 4 (x - 12)

1 = (x - 12)

√1 = (x - 12)

+/ -1 = x -12. Точка на пресичане на Parabola с ос X има координати (11.0) и (13.0).

Разпространете квадратното уравнение на стандартен формуляр за мултипликатори: AX + BX + C = (DX + E) (FX + G), където DX × FX = AX, (DX × G + FX × E) = BX, E × G = C. След това изравнявайте всяко biker до 0 и намерете стойностите на "x". Например:

x + 2x + 1

= (x + 1) (x + 1)

В този случай има една точка на пресичане на парабола с ос X с координатите (-1.0), защото при X + 1 = 0 x = -1.

Ако не можете да разградите уравнението на множителите, да го решите с помощта на формула за изчисляване на корените на квадратното уравнение: X = (-B +/- √ (B - 4AC)) / 2а.

Например: -5x + 1x + 10.

X = (-1 +/- √ (1 - 4 (-5) (10)) / 2 (-5)

x = (-1 +/- √ (1 + 200)) / - 10

x = (-1 +/- √ (201)) / - 10

x = (-1 +/- 14,18) / - 10

x = (13,18 / -10) и (-15,18 / -10). Точка на пресичане на Parabola с ос X има координати (-1,318.0) и (1,518.0).

В нашия пример за стандарта на 2x + 16x + 39 уравнения:

X = (-16 +/- √ (16 - 4 (2) (39)) / 2 (2)

X = (-16 +/- √ (256 - 312)) / 4

x = (-16 +/- √ (-56) / - 10

Тъй като е невъзможно да се извлечете квадратен корен от отрицателно число, тогава в този случай Parabola не пресича оста х.

Изображение, озаглавена графиката квадратично уравнение стъпка 9

девет. Ако е необходимо, намерете и приложите точките на пресичане с y оста. Много е лесно - заместител x = 0 към оригиналното уравнение и намерете стойността на "y". Точката на пресичане с y оста е винаги сама. ЗАБЕЛЕЖКА: В стандартните уравнения, точка на пресичане има координати (0, в).

Например, Parabola Square уравнение 2x + 16x + 39 пресича с ос Y в точка с координати (0, 39), тъй като C = 39. Но може да се изчисли:

f (x) = 2x + 16x + 39

F (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39

F (x) = 39, т.е., парабола на това квадратно уравнение се пресича с y ос в точката с координати (0, 39).

В нашия пример за уравнението на нестандартните видове4 (X - 5) + 12, точка на пресичане с y оста се изчислява, както следва:

F (x) = 4 (x - 5) + 12

F (x) = 4 (0 - 5) + 12

f (x) = 4 (-5) + 12

F (x) = 4 (25) + 12

f (x) = 112, т.е. парабола на това квадратно уравнение се пресича с y оста в точката с координати (0, 112).

Изображение, озаглавена графиката квадратично уравнение стъпка 10

10. Намерихте (и се раздадете) на върха на парабола, неговата посока и точки на пресичане с осите X и Y. Можете да изградите Parabolas по тези точки или да намерите и да приложите допълнителни точки и само след това да построите парабола. За да направите това, заменете няколко стойности на "X" (от двете страни на Vertex) в оригиналното уравнение, за да изчислите съответните стойности на "Y".

Да се върнем към уравнението x + 2x + 1. Вече знаете, точката на пресичане на графика на това уравнение с оста x е точката с координати (-1.0). Ако Parabola има само една точка на пресичане с ос X, тогава това е върхът на параболата, лежащ на ос от х. В този случай една точка не е достатъчна за изграждане на десния парабола. Следователно намерете няколко допълнителни точки.

Да предположим, че x = 0, x = 1, x = -2, x = -3.

x = 0: F (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Точкови координати: (0,1).

x = 1: F (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Точкови координати: (1.4).

X = -2: F (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Точкови координати: (-2.1).

x = -3: F (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Точкови координати: (-3.4).

Приложете тези точки на координатната равнина и изградете парабола (свържете изгледите на U-образната крива). Моля, обърнете внимание, че Parabola е абсолютно симетрична - всяка точка на един клон на Parabolas може да бъде отразяван (по отношение на осната симетрия) върху другия клон на парабола. По този начин ще спестите време, тъй като не е необходимо да изчислявате координатите на точките както от клоновете на Parabola.

Съвети

Кръгли фракционни номера (ако това е изискване на учителя) - така че изграждате десния парабола.
Ако във F (x) = AX + BX + C коефициенти В или С са нула, тогава няма членове с тези коефициенти в уравнението. Например, 12x + 0x + 6 се превръща в 12x + 6, защото 0x е 0.