Как да се разложи многостепенните полиноми (квадратно уравнение)

Полиномът съдържа променлива (х), издигната в степен и няколко членове и / или свободни членове. Разлагане на полиноми върху мултипликатори - разделяйки го на къси и прости полиноми, които се умножават помежду си. Способността да се разпространява полиномът към множителите изисква достатъчно математически знания и умения.

Стъпка

Метод 1 от 7:

Първични стъпки

един. Запишете уравнението. Стандартна форма на квадратното уравнение:

AX + BX + C = 0
Подредете членовете, започващи с най-висок ред. Помислете за пример:

6 + 6x + 13x = 0
Дайте това уравнение на стандартната форма на квадратно уравнение (просто чрез промяна на страните):

6x + 13x + 6 = 0

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 2

2. Спрете върху мултипликатори, използвайки един от методите по-долу. Разграждането на полиноми върху мултипликатори е разделяне на него до къси и прости полиноми, които се умножават помежду си.

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
В този пример, Bicked (2x +3) и (3x + 2) са мултипликатори на оригиналния полином 6x + 13x + 6.

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 3

3. Проверете работата чрез умножаване на членовете и добавянето на същите (подобни) членове.

(2x + 3) (3x + 2)

6x + 4x + 9x + 6

6x + 13x + 6

(където 4 и 9x са подобни членове). Така ние правилно разграждахме полином към множителите, тъй като с тяхното умножение получихме оригиналния полином.

Метод 2 от 7:

Решения за решение и грешки

Ако ви бъде даден доста прост полином, можете самостоятелно да го разграждате на множителите. Например, опитни математици могат незабавно да определят какво полином 4x + 4x + 1 Има мултипликатори (2x + 1) и (2x + 1). (Забележка, този метод няма да бъде толкова прост, когато разгражда по-сложен полином.) Помислете за пример:

3x + 2x - 8

един. Запишете двойката фактори на коефициентите А и ° С. Използване на изразяването на изгледа AX + BX + C = 0, Определят коефициентите А и ° С. В нашия пример

A = 3 и мултипликатори: 1 * 3
C = -8 и мултипликатори: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, -1 * 8.

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 5

2. Напишете два чифта скоби с интервали, вместо които са намерени безплатни членове:

(x) (x)

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 6

3. Фронт Х Постави чифт фактори за коефициента А. В нашия пример такова двойка е само един:

(3x) (1x)

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 7

4. След Х Поставете чифт множители за в. Да предположим, че приемаме 8 и 1. Получаваме:

(3xОсем) (ХединЧест

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 8

пет. Решите кой знак да се постави между тях Х и номера (свободни членове). В зависимост от знаците в уравнението на източника можете да определите знаци пред свободните членове. Означават свободните членове в нашите бикцин-множители чрез Х и К. T

Ако AX + BX + C, след това (X + H) (X + K)
Ако AX е BX - C или AX + BX - C, след това (X - H) (X + K)
Ако AX - BX + C, след това (X - H) (X - K)
В нашия пример 3x + 2x - 8, следователно (X - H) (X + K) и

(3x + 8) (x - 1)

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 9

6. Проверете резултатите чрез движещи се изрази в скоби. Ако вторият член вече е (от променливата x) неправилен (без значение, отрицателен или положителен), сте избрали не двойката мултипликатори ° С.

(3x + 8) (x - 1)

3x - 3x + 8x - 8

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8, след умножаване на мултипликатори, ние получаваме израз, който не е равен на първоначалното, означава, че сме избрали не двойката фактори.

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 10

7. Промяна на няколко мултипликатори ° С. В нашия пример вземете 2 и 4 вместо 1 и 8.

(3x + 2) (x - 4)
Сега ° С = -8. Въпреки това (3x * -4) + (2 * x) = -12x + 2x = -10x, т.е. сега Б = -10x, и в първоначалното уравнение Б = 2x (грешен съм БЧест.

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 11

Осем. Промяна на процедурата за мултипликатори. Сме сменили места 2 и 4:

(3x + 4) (x - 2)
° С Какво трябва да бъде (4 * -2 = -8). -6x + 4X ни дайте правилната стойност (2x), но грешен знак пред него (-2x вместо + 2x).

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 12

девет. Промяна на знаците. Процедурата за членове в скоби напуска същото, но променя знаците:

(3x - 4) (x + 2)
° С Какво трябва да бъде (-8), и

Б= 6x - 4x = 2x
2x = 2xКакто се изисква. По този начин открихме правилните фактори на оригиналното уравнение.

Метод 3 от 7:

Решение чрез разлагане

Използвайки този метод, можете да дефинирате всички фактори на коефициентите А и ° С и ги използвайте при намиране на множители на това уравнение. Ако числата са големи или сте уморени от предположение, използвайте по този начин. Помислете за пример:

6x + 13x + 6

един. Умножете коефициента А (6 В нашия пример) на коефициента ° С (също 6 в нашия пример).

6 * 6 = 36

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 14

2. Намерете коефициента Б разлагане на мултипликатори и последващи проверки. Търсим две числа, които примножават, дават резултат, равен на резултата от умножение А * ° С (в нашия пример 36) и при добавянето ще доведе до резултат, равен на коефициента Б (В нашия пример 13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 15

3. Заменете два номера, намерени в уравнението на източника като сума (която е равна БЧест. Намерени са номерата К и Х (Процедурата не е важна):

AX + KX + HX + C
6x + 4x + 9x + 6

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 16

4. Разпространете полиномът към групите страни-членки. Членовете на групата на първоначалното уравнение, за да изтърпят най-големите общи множители от първите два и последните двама членове. В същото време изразите в двете скоби трябва да бъдат еднакви. Общите мултиплици организират в израза и го умножават до същия израз в скоби.

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Метод 4 от 7:

Троен метод

Много подобно на метода на разпадане. Този метод разглежда възможните фактори за размножаване А на ° С и ги използва, за да намерят стойност Б. Помислете за пример: 8x + 10x + 2

един. Умножете се А (8 в пример) ° С(2 Например).

8 * 2 = 16

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 18

2. Намерете две числа, които ще дадат 16 на няколко, а резултатът от който е равен на коефициента Б (10 Например).

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 19

3. Намерени две номера (означават ги Х и К) Заместване на следващото уравнение (формула "троен метод"):

((AX + H) (AX + K)) / a

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 20

4. Разберете кой израз в двете скоби е напълно разделен на А. В нашия пример този израз е (8x + 8). Разделете този израз на А, И оставете израз на втората скоба, както е.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Разделете този израз на 8 (А) и получете (x + 1)

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 21

пет. Вземете най-големия общ делител (възел) от всяка или двете скоби (ако е така). В нашия пример възел на експресията от втората скоби е 2 (от 8x + 2 = 2 (4x + 1)). Така получаваме

2 (x + 1) (4x + 1)

Метод 5 от 7:

Квадратни разлики

Някои полиномни коефициенти могат да бъдат идентифицирани като "квадрати" (работа на две идентични номера). Намирането на "квадрати" ви позволява да ускорите разграждането на полином до множество. Помислете за пример:

27x - 12 = 0

един. Изпълнете най-разпространения споделен делител за скоби (ако е така). В нашия пример, 27 и 12 са разделени на 3.

27x - 12 = 3 (9x - 4)

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 23

2. Определете, че първоначалното уравнение е разликата в два квадрата.Уравнението трябва да има двама членове, от които квадратният корен може да бъде отстранен.

9x = 3x * 3x и 4 = 2 * 2 (Обърнете внимание, че пуснахме знак минус)

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 24

3. Заместващи стойности А и ° С В израз на формата:

(√ (а) + √ (в)) (√ (а) - √ (в))

В нашия пример А = 9 I ° С = 4, √А = 3 и √° С = 2. По този начин,

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Метод 6 от 7:

Формулата за решаване на квадратно уравнение

Ако други методи не работят и полиномът не се разлага на фактори, използвайте решенията на квадратното уравнение. Помислете за пример:

X + 4X + 1 = 0

един. Подайте подходящите стойности във формулата:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2а
Получаваме изразяване:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 26

2. намирам Х. Трябва да получите две значения Х. Както е показано по-горе, ние намираме два решения:

x = -2 + √ (3) или x = -2 - √ (3)

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 27

3. Намерени са заместващи стойности Х вместо Х и К В израз на формата:

(X - h) (x - k)

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Метод 7 от 7:

Калкулатор

Ако можете да използвате графичен калкулатор, той значително ще опрости процеса на разлагане на полиноми към мултипликатори. По-долу са инструкции за графичен калкулатор TI. Помислете за пример:

Y = x - x - 2

един. Въведете уравнението си в [y =].

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 29

2. Натиснете [Graph] за изграждане на графика на уравнението. Ще видите гладка крива (в нашия случай парабола, тъй като това е квадратно уравнение).

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 30

3. Намерете точките на пресичане на парабола с оста х. Така ще намерите ценности Х.

(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2

Ако не можете да определите визуално координатите, натиснете [2ND], а след това [Trace]. Кликнете върху [2] или изберете "нула". Заредете курсора в лявото пресичане и натиснете [ENTER]. Заредете курсора в точното пресичане и натиснете [ENTER]. Самият калкулатор определя стойностите Х.

Image озаглавен фактор втора степен полиноми (квадратични уравнения) стъпка 31

4. Заместващи стойности Х вместо Х и К В израз на формата:

(x - h) (x - k) = 0

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Съвети

Ако имате графичен Ti-84 калкулатор, тогава за него има програма за решаване, която решава квадратни уравнения (и в общи уравнения).
Ако членът не е в полином, тогава коефициентът е равен на 0. Ако имате такъв случай, полезно е да пренапишете уравнението във формата:

x + 6 = x + 0x + 6
Ако сте положили полином с помощта на формула за решаване на квадратно уравнение и получавате отговор на корените, конвертирате стойности Х в една малка част за проверка.
Ако с неизвестна (променлива) няма коефициент, той е равен на 1.

x = 1x
С течение на времето ще се научите да държите метода на проби и грешки в главата ми. И дотогава го напишете.

Предупреждения

Ако изучавате разграждането на полиноми в класове, използвайте метода, който съветва учителя, а не този, който ви харесва. Учителят на изпита може да изисква използването на определен начин и може да забрани използването на графичен калкулатор.