Как да изградите график на рационалната функция: 8 стъпки

Рационалната функция има формата y = n (x) / d (x), където n и d са полиноми. За да изградите точна графика на такава функция, ще ви трябват добри познания за алгебрата, включително диференциални изчисления. Помислете за следния пример: y = (2Х - 6Х + 5) / (4Х + 2).

Стъпка

един. Намерете точка на пресичане на графиката с оста Y. За да направите това, субстрат x = 0 и да получите y = 5/2. Така, точката на пресичане на графиката с Axis Y има координати (0, 5/2). Задайте тази точка на координатовата равнина.

2. Намерете хоризонтални асимптоти. Разделете числителя на знаменателя (в колоната), за да определите поведението на "Y" със стойностите на "X", търсещи в безкрайност. В нашия пример резултатът от разделението ще бъде y = (1/2)Х - (7/4) + 17 / (8Х + 4). С големи положителни или отрицателни стойности на "X" 17 / (8Х + 4) има тенденция към нула, а графиката се приближава към директна посочена функция y = (1/2)Х - (7/4). Използване на пунктирана линия, изградете графика на тази функция.

Ако степента на числатора е по-малка от степента на знаменател, тогава няма да можете да разделите числителя на знаменателя и асимптота описва функцията W = 0.

Ако степента на числатора е равна на степента на знаменател, асимптота е хоризонтално пряко, равно съотношение на коефициентите в "X" до най-високата.

Ако степента на числатора е 1 повече от степента на знаменател, асимптота е наклонена директен, чиято ъглов коефициент е равен на съотношението на коефициентите в "X" към най-високата.

Ако степента на числатора е по-голяма от степента на знаменател при 2, 3 и t.Д., след това при големи стойности |Не| Стойности W са склонни към безкрайност (положително или отрицателно) под формата на квадратна, кубична или друга степен на полином. В този случай, най-вероятно, не е необходимо да се изгради точна графика на функцията, получена при разделяне на числителя към знаменателя.

Изображение, озаглавена графиката рационална функция стъпка 3

3. Намерете нулите на функцията. Рационалната функция има нули, когато числителят е нула, т.е. n (Не) = 0. В нашия пример 2Х - 6Х + 5 = 0. Дискриминация на това квадратно уравнение:Б - 4Ac = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Тъй като дискриминацията е отрицателна, тогава n (Не) и следователно f (Не) няма валидни корени. Графиката на рационалната функция не пресича оста X. Ако функцията има нули (корените), след това ги настройте на координатовата равнина.

Изображение, озаглавена графиката рационална функция стъпка 4

4. Намерете вертикални асимптоти. За да направите това, приравнете знаменателя на нула. В нашия пример 4Х + 2 = 0 и Не = -1/2. Изграждане на графика на вертикални асимптоти с пунктирана линия. Ако с някакво значение Не Н (Не) = 0 и d (Не) = 0, след това вертикалната асимптота или съществува, или не съществува (това е рядък случай, но е по-добре да го помните).

Изображение, озаглавена графиката Рационална функция стъпка 5

пет. Погледнете остатъка от разделянето на номера на знаменателя. Това е положително, отрицателно или равно на нула? В нашия пример остатъкът е 17, т.е. ОПАСНОСТ 4Х + 2 положителни за правото на вертикални асимптоти и отрицателни отляво от него. Това означава, че графика на рационалната функция при големи положителни стойности Не приближава асимптотирането отгоре и с големи отрицателни стойности Не - отдолу. От 17 / (8Х + 4) никога не е равна на нула, след което графикът на тази функция никога няма да премине директната задачаW = (1/2)Не - (7/4).

Изображение, озаглавена графиката рационална функция стъпка 6

6. Намерете местни екстремум. Местният екстремум съществува в N `(Х) Д (Х) - н (Х) Д `(Х) = 0. В нашия пример n `(Х) = 4Х - 6 и d `(Х) = 4. Н `(Х) Д (Х) - н (Х) Д `(Х) = (4Х - 6) (4Х + 2) - (2Х - 6Х + 5) * 4 = Х + Х - 4 = 0. Решаването на това уравнение, ще откриете това Х = 3/2 I Х = -5/2. (Те не са съвсем точно значение, но те са подходящи за нашия случай, когато не е необходима спешна информация.Чест

Изображение, озаглавена графиката рационална функция стъпка 7

7. Намерете стойност W За всеки местен екстремум. За да направите това, замествайте стойностите Не В оригиналната рационална функция. В нашия пример F (3/2) = 1/16 и F (-5/2) = -65/16. Отлагат точките (3/2, 1/16) и (-5/2, -65/16) върху координатната равнина. Тъй като изчисленията се основават на приблизителни стойности (от предишната стъпка), минималният намерен и максималният също не е напълно точен (но вероятно много близки до точни стойности). (Точка (3/2, 1/16) е много близо до местен минимум. Започвайки от стъпка 3, ние знаем това W Винаги положителен като Не> -1/2 и намерихме малка стойност (1/16) - по този начин, стойността на грешката е изключително малка.Чест

Изображение, озаглавена графиката Рационална функция стъпка 8

Осем. Свържете предстоящите точки и плавно разширете графика към асимптотамите (не забравяйте за правилната посока на сближаването на асимптотама). Не забравяйте, че графикът не трябва да пресича ос от х (виж. Стъпка 3). Графиката също не се пресича с хоризонтални и вертикални асимптоти (виж. Стъпка 5). Не променяйте посоката на графика, освен в точките на крайностите, намерени в предишната стъпка.

Съвети

Ако сте завършили горепосочените действия, строго по ред, тогава няма нужда да се изчисляват вторите деривати (или подобни сложни количества), за да се потвърди решението си.
Ако не е необходимо да изчислявате стойностите на стойностите, можете да замените намирането на местни екстремуни за изчисляване на някои допълнителни координатни двойки (Не, W) между всяка двойка асимптот. Освен това, ако не ви е грижа как работи описаният метод, тогава не се изненадвайте защо не можете да намерите дериват и решавате уравнението n `(Х) Д (Х) - н (Х) Д `(Х) = 0.
В някои случаи ще трябва да работите с полиноми с висок ред. Ако не можете да намерите точното решение с помощта на разграждане на множители, формули и др.Не., след това оценете възможните решения, като използвате цифрови методи, като например начина на нютон.
В редки случаи числителят и знаменателят имат общ променлив множител. Според описаните стъпки това ще доведе до нула и до вертикални асимптоти на едно и също място. Това обаче не е възможно, а обяснението служи за една от следните опции:

Нула в n (Не) има по-висока множественост от нула в d (НеЧест. Графика f (Не) има склонност към нула в този момент, но не е дефиниран в него. Посочете го чрез рисуване на кръг около точката.
Нула в n (Не) и нула в d (Не) имат същото многократно. Графикът се приближава към някаква ненулева точка в този смисъл Не, но не са дефинирани в него. Посочете го чрез рисуване на кръг около точката.
Нула в n (Не) има по-ниска множественост от нула в d (НеЧест. Тук има вертикална асимптота.