Как да решавате полиноми

В математиката, полином (или полином) е количеството или разликата на едното легло. Планираните включват променливи и постоянни, например еднократно е 4, -10x и 3x. Полиномът се състои от всеки краен брой еднокрил, които не съдържат негативни индикатори на степен (x), променливи в знаменател (1 / x) и променливи под квадратен корен знак. За да разрешите полином, трябва да разберете при какви стойности x полиномът е нула.

Стъпка

Метод 1 от 5:

Запишете полином

един. Подредете членовете на полином в низходящ ред на индикатори. Пренапишете този полином, така че членът с най-висока степен на степен е първи, и член с най-малък индикатор - последният. Например, полином -1 + 3x - X ще пренапише това: -X + 3X- 1.

Не забравяйте, че отрицателният член винаги ще бъде отрицателен, дори ако го напишете на първия член. Погледнете предишния пример --x -x е отрицателен (защото е приспаднал), така че той остава отрицателен, когато го записвате с първия член.

Изображение, озаглавено решаване на полиноми Стъпка 2

2. Опростяване на полином. Понякога всеки член на полином съдържа множител, който може да бъде достигнат с скоби и по този начин да се опрости полином. Например, в полином 2x + 4X - 12, всеки член е разделен на 2, т.е. 2 може да бъде изваден от скобите: 2 * (x + 2x - 6), докато стойността на оригиналния полином няма да бъде промяната. Не забравяйте, че този метод е приложим само когато всеки член има общ множител.

За да проверите изчисленията, умножете всеки член на 2. Първоначалният полином трябва да се получи: 2x + 4X - 12 = (2 * x) + (2 * 2x) - (2 * 6)

Този метод е приложим за променливи, например: 3x * (x + 3) = 3x + 9x.

Винаги вземайте най-големия мултипликатор за скоби. В 10x + 20x полином за скоби е възможно не само 2, но и 10x.

Изображение, озаглавено решаване на полиноми Стъпка 3

3. Определете дали е възможно да се реши полиномът. Не забравяйте, че полиномът включва всеки краен брой еднокрил, които не съдържат отрицателни индикатори (x) отрицателни индикатори, променливи в знаменателя (1 / x) и променливи под квадратния корен знак. Ако поне едно от тези условия не е изпълнено, това уравнение се решава чрез методи, които не се разглеждат в тази статия.

Имайте предвид, че полиномите показват степента на степен 4 (x) и по-висока, много е трудно да се реши, но за това можете да използвате графичния калкулатор.

Ако рационализирате полином в низходящ ред на индикаторите, той ще бъде записан в стандартен формуляр.

Изображение, озаглавено решаване на полиноми Стъпка 4

4. Запомнете основните математически термини. Много е трудно да се решат полиноми, ако не знаете терминологията. Помнете следните термини:

Планиран (или само член) е математически израз, който включва постоянна, променлива или постоянна и променлива. Например, 5, x, 3t, 15y.

Полином (или полином) - това е количеството или разликата на една легла.

Факт е номерът, който, когато се умножи, дава третия номер на друг номер. Например, множителите 10 са числа 2, 5, 1, 10, тъй като всеки от тези числа, умножено по друг номер, ще даде 10. Мултепърс могат да бъдат променливи, например, мултипликатори от 10x са 2, 5, 1, 10 и x.

Степента е най-голяма степен на степента на променлива, която е включена в полиномната. Например, полином X + 3x + 55 е полином от петата степен.

Три остарял е полином, който се състои от три хоморални, например, 2x + x + 12.

Две (или бином) е полином, който се състои от два хоморални, например, x + 9. Имайте предвид, че някои полиноми могат да бъдат разградени върху множители от две и повече бияч.

Метод 2 от 5:

Разлагане на три заинтересовани страни

един. Решаване на полином, който е даден под формата на три. Тази статия обсъжда само квадратни три метра (индикаторът за тяхната степен не надвишава 2, например, x, 3x и т.н.), защото такива три етапа са най-често и лесно решават. Три трябва да се разложит на работата на две белуси от първа степен. Помислете за пример: X + 9X - 20.

Изображение, озаглавено решаване на полиноми Стъпка 6

2. Не забравяйте, че обучаваните могат да бъдат разложени върху мултипликатори в две беломи. За да се решат три решения, е необходимо да го опростим и за това да се разцепи три пъти, за да работи два белуши, чийто индикатор не надвишава 1 (например, x, 5x и т.н.). Запомнете реда за умножаване на две подсказания: първите членове, първите и вторите членове, вторият и първите членове, вторите членове. Например, движещо се усукване (x + 3) и (x + 2):

(x + 3) (x + 2)

Първи членове. Първите членове са x.

x * x = Х

Първи и втори членове. Първият член е х, а вторият 2.

x * 2 = 2x

Втори и първи членове. Вторият термин е 3, а първият x.

3 * x = 3x

Втори членове. Вторият членове са 3 и 2.

3 * 2 = 6

Сгънете резултатите, за да получите полином: X + 3X + 2X + 6.

Сгънете (или приспадане) подобни членове за опростяване на полином (подобни елементи са членове, съдържащи променлива със същия индикатор): X + 5X + 6

Изображение, озаглавено решаване на полиноми Стъпка 7

3. Разпространете три колове. Повечето от три залозите могат да бъдат разложени върху два фактора, всяка от които е двустепенна усукана. Този метод включва метод на проба и грешка. Обърнете внимание на следното:

Първият мандат на трима (X) е резултат от умножаването на първите членове на всеки две.

Вторият член от три декларирания (x) е сумата от резултатите от умножаването на първия и втория и втори и първите членове на всеки две.

Третият член на тримата декларирани (6) е резултат от умножаване на вторите членове на всеки две.

Ако третата писалка е отрицателна, тогава вторият член на един от усукващите ще бъде отрицателен.

Запишете разлагането на три ударите върху парчето Twisters под формата на X + X - 6 = (__ +/- __) (__ + / -__), т.е. трябва да ги намерите гладко и да ги замените вместо интервали.

Изображение, озаглавено Решаване на полиноми Стъпка 8

4. Намерете първите шейкове (за всяка двойка скоби). Помислете за пример: x + x - 20. Да намерим първите, погледнете първия член на трима и го поставете върху двойките на най-простите мултипликатори. В нашия пример такива фактори са x и x, тъй като x * x = x.

Намерено е гладко за заместване вместо първите пространства във всяка двойка скоби: (x + / -__) (x +/- __)

Не забравяйте, че площадът е всяка променлива или постоянна, умножена сама по себе си.

Изображение, озаглавено решаване на полиноми Стъпка 9

пет. Намерете две числа, чиято работа е третият член на трима. За да направите това, погледнете третия член на три обувки и го разпръснете върху всички възможни мултипликални двойки. В нашия пример (третият термин е номер -20) такива двойки мултипликатори са следните номера:

-10 * 2 = 20

10 * -2 = -20

-4 * 5 = -20

4 * -5 = -20

Разрешаване на комплексни полиноми, можете да използвате десетични фракции (-3 * 6,6666), но такива полиноми са много трудни за решаване, тъй като е почти невъзможно да се приложи методът на проби и грешки. В такива случаи се наслаждавайте на графичен калкулатор.

Изображение, озаглавено решаване на полиноми стъпки 10

6. Сред установените (при предишната стъпка) двойки мултипликатори избират такива няколко числа, когато вторият член е изготвен, вторият член е трима. Постоянната (постоянна) е винаги пред променливата. В нашия пример, вторият член на трима е X. Тъй като постоянната не е посочена, тя е равна на 1, защото x * 1 = x. По този начин, трябва да изберете такава няколко числа, когато получаването на добавяне 1. В нашия пример такъв двойка са числа -4 и 5: -4 + 5 = 1. Така че работата на отскачането ще изглежда така: (x - 4) (x + 5).

Положителните числа се идентифицират с добавяне и отрицателно - с изваждане.

Забележка: Вземете под внимание постоянната на първия член на трима. Например, ако в нашия пример първия срок на три залога ще бъде 3x, тогава такава тройна не е поставена върху множителите (3x - 4) (x + 5), тъй като в този случай размерът на резултатите от. T произведенията на първия и втория членове и вторият и първите членове не е равен на 1: 15 + (-4) = 11. Тук трябва да изберете друг чифт номер -20 фактор.

Изображение, озаглавено решаване на полиноми Стъпка 11

7. Умножете членовете на отскачането, за да проверите резултата. В нашия пример:

(x - 4) (x + 5)

Първи членове. x * x = x

Първи и втори членове. x * 5 = 5x

Втори и първи членове. -4 * x = -4x

Втори членове. -4 * 5 = -20

Сгънете резултатите, за да получите полином: X + 5X - 4X - 20

Сгънете или приспаднете подобни членове: X + X - 20

Тъй като получената трета съвпада с източника, решението е правилно.

Изображение, озаглавено решаване на полиноми Стъпка 12

Осем. Практика в разлагането на три залози на множителите. Някои три пъти по-трудно да се излагат от други. Опитайте се да разложите следните квадратчета на факторите и сравнете получените отговори със следното.

Проста задача: X + 4X + 3.

Отговор: (x + 1) (x + 3)

Нормална задача: X - 9 + 18.

Отговор: (x - 3) (x - 6)

Трудна задача: 4x - 2x -6

Отговор: (2x - 3) (2x + 2)

Метод 3 от 5:

Решение на полиноми

един. За да разрешите полином, трябва да го приравните до нула. Задачите изискват "да се намери стойностите на променливата, в която полиномът е 0", или "намерете корените на полином", или просто "решаване на полином". Преди да приравните полином до нула, използвайте съветите, изложени в първия раздел на тази статия. Помислете за пример: 3x (2x - 4) (x + 5) = 0.

Корените на полиномията са разположени там, където е нула, т.е. точката (на координатна равнина), в която графиката на полиномената функция пресича ос X (хоризонтална ос).

Изображение, озаглавено Решаване на полиноми Стъпка 14

2. Приравняват всяка двойка (ако сте разграбили полином за множителите) до нула. Тъй като полиномът се отхвърля към няколко фактора, основната задача е разделена на няколко подзадача. Ако 0 се умножи по някакъв израз или номер, тогава ще се окаже 0, така че можете да помислите за всеки множител поотделно. Така в нашия пример задачата е разделена на 3 подзадача:

Уравнение a: 3x = 0

Уравнение Б: 2Х - 4 = 0

Уравнение C: X + 5 = 0

Изображение, озаглавено решаване на полиноми Стъпка 15

3. Решете всички уравнения, т.е. намерете "x". Всяко решение ще бъде коренът на оригиналния полином. За да намерите "X", отделете тази променлива от едната страна на уравнението.

Уравнение А: Да се отървете от 3 пътя към следното разделение: 3x / 3 = 0/3.

x = 0

Уравнение Б: 2Х - 4 + 4 = 0 + 4

2x / 2 = 4/2

x = 2

Уравнение C: X + 5 - 5 = 0 - 5

x = -5

Намерихте корените на полиномния.

Изображение, озаглавено решаване на полиноми Стъпка 16

4. За да проверите отговора, заменете стойностите, намерени в оригиналния полином. Това е бърз и надежден начин за проверка на всяко решение. Вместо "x" замества намерените стойности - ако разтворът е правилен, полиномът ще бъде равен на 0.

x = 0: (3 * 0) (2 * 0 - 4) (0 - 5) = 0

(0) (- 4) (- 5) = 0

0 = 0

Отговорът е прав. Проверете останалите стойности на "X".

Метод 4 от 5:

Разтвор на сложни полиноми

един. Опростяване на полином. За да направите това, поставете го върху работата на усуканите и трима. Например, продуктът (X-5) (X + X - 20) може да бъде разделен на две уравнения и да ги разрешава отделно.

Ако високо дадено е висока степен, например, X, тогава тя може да бъде записана, както следва: (x), което значително ще опрости решението си.

Например, x + 2x + 4 = (x + 2) (x + 2)

Изображение, озаглавено решаване на полиноми Стъпка 18

2. Решаване на полином, който е даден под формата на разлика от два куба. Ако броят или променливият куб се изважда от куба с друг номер или променлив, например, X - 8, след това такава разлика може да бъде разложена върху продукта от усукани и три декларирани с формулата на съкратеното умножение: (a - b) (a + ab + b) = a - b

В нашия пример A = X, B = 2 (от 2 = 8). Следователно x - 8 = (x - 2) (x + 2x + 8).

За да разберете как се показва тази формула, отворете Тази страница (на английски).

Изображение, озаглавено Решаване на полиноми Стъпка 19

3. Научете се да решавате квадратно уравнение. Квадратното уравнение е двустепенна полиномна еквивалентна на нула. Квадратното уравнение може да се използва за решаване на сложни полиноми без графичен калкулатор. С помощта на формулата за решаване на квадратното уравнение можете бързо да намерите корените на полином.

Метод 5 от 5:

Използване на графичен калкулатор

един. За решаване на сложен полином, използвайте графичен калкулатор. Сложните полиноми са полиноми с голям брой членове, нечетни индикатори на степента или скритите мултипликатори. Графичният калкулатор намира корени в автоматичен режим. Най-лесният начин да използвате функцията zeros (zeros).

Изображение, озаглавено решаване на полиноми Стъпка 21

2. Въведете полином в графичния калкулатор. Като правило, това се прави на екрана y = _____ или f (x) _____ (полиномът се въвежда вместо интервали).

Изображение, озаглавено решаване на полиноми стъпки 22

3. Погледнете графика. На екрана на калкулатора се появява въведена полиномна графика.

Изображение, озаглавено решаване на полиноми Стъпка 23

4. Кликнете върху "ZEROS" (ZEROS). В най-популярните графични калкулатори, произведени от инструмента TEXAS, кликнете върху "2nd" - "Calc" - "Zeros". На други графични калкулатори съответната функция може да се нарече "корени" (корени), "изчисли корените" (изчисли корените), "изчисли нулите" (изчисли нулите).

Изображение, озаглавено решаване на полиноми Стъпка 24

пет. Изберете точки, лежащи наляво и отдясно от желания корен. В диаграмата ще се появи мигащата точка. Използвайки бутоните със стрелки, задайте мигащата точка вляво от точката на пресичане на графиката с оста на абсциса. Маркирайте избраната точка. Повторете този процес, за да маркирате точката вдясно от желания корен.

Калкулаторът ще предложи да намери тези точки.

Не избирайте целия график - увеличете го и изберете точки наляво и надясно от предполагаемия корен (т.е. точки на пресичане на графиката с ос x).

Изображение, озаглавено Решаване на полиноми Стъпка 25

6. Не забравяйте да маркирате точките, в които графиката просто се отнася (но не пресича) осната ос. Такива точки също са уравнения на корените.

Ако сте намерили корените на полином ръчно, проверете ги с графичен калкулатор. За да направите това, в калкулатора, намерете координатите на точката на пресичане на графиката с ос X.

Съвети

Не се притеснявайте, ако полиномът включва други променливи, например, t, или ако е равно на f (x), а не до 0. Ако трябва да намерите корени, нули или мултипликатори, решете такъв полином, както и всеки друг (който е, както е описано в тази статия).
Запомнете процедурата за извършване на математически операции. Първо, решаване на експресията в скоби, след това се размножава или разделя и след това сгъване или приспадане.

Предупреждения

Напишете отговора, ако се изисква в задачата.
Същата математическа операция се извършва от двете страни на уравнението.
Внимателно прилагайте точките (за изграждане на графика) върху координатния самолет.
Уравнението трябва да бъде подадено в стандартен формуляр (както е описано по-горе).