Как да се разложи полином от трета степен за мултипликатори

Тази статия е посветена на разлагането на мултимените полиноми от третата степен. Ще ви кажем как да направите това, като използвате метода за групиране и чрез свободен член.

Стъпка

Част 1 от 2:

Разлагане чрез групиране

един. Прекъсване на полиномът към два компонента на полином (в две групи). Разстелете полином в две групи и работете с всеки от тях поотделно.

Например, вземете полином: X + 3X - 6x - 18 = 0. Ние го разбиваме в групи (X + 3X) и (- 6x - 18)

Изображение, озаглавен фактор, кубична полиномна стъпка 2

2. Намерете общ мултипликатор във всяка група.

За (X + 3X) Общият фактор ще бъде X

За (- 6x - 18) общ мултипликатор -6.

Изображение, озаглавен фактор, кубичен полином стъпка 3

3. Вземете общи фактори за скоби (опростяване).

Ние издържам x за скоби от първия усукан и получавам: x (x + 3).

Ние издържаме -6 за скобите на втория усукани и получавам: -6 (x + 3).

Изображение, озаглавен фактор Кубичен полином Стъпка 4

4. Ако в опростени групи има същия полином, тогава можете да добавите общи знаменатели и да се умножите по такъв полином.

В нашия случай, получаваме: (x + 3) (x - 6).

Изображение, озаглавен Фактор Кубичен полином Стъпка 5

пет. Намерете решението на всеки от отпечатъците (множител). Ако имате променлива x, не забравяйте, че е възможно и положителен и отрицателен отговор.

В нашия пример x = -3 и x = √6.

Част 2 от 2:

Изместване

един. Дайте полином на ума: AX + BX + CX + D.

Например, ние ще разгледаме полином: x - 4x - 7x + 10 = 0.

Изображение, озаглавен фактор, кубичен полиномна стъпка 7

2. Намерете всички фактори "D".Безплатен член "D" - член без променлива "X" (член, който не съдържа неизвестно).

Мултипликатори - цифри, които се дават от умножаване. В нашия случай, множители 10, или "D": 1, 2, 5 и 10.

Изображение, озаглавен фактор, кубична полиномна стъпка 8

3. Намерете един множител, който е разтвор на полином. Това означава, че трябва да изберете множител, при който полиномът е 0, ако този мултипликатор е заместен вместо "X".

Да започнем с 1. Заместване на "1" вместо "x", получаваме:
(1) - 4 (1) - 7 (1) + 10 = 0

Решение: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.

Тъй като 0 = 0, x = 1 е коренът на оригиналния полином.

Изображение, озаглавен фактор, кубична полиномна стъпка 9

4. Ние правим опростяване. Ако x = 1, тогава можете да опростите оригиналния полином, без да променяте стойността му.

"X = 1" е същото като "x - 1 = 0" или "(x - 1)". Току-що преместихме 1 вляво от равенството.

Изображение, озаглавен фактор, кубична полиномна стъпка 10

пет. Отстранете корена за скобите на първоначалния полином. "(X - 1)" е нашият корен на полиномната. Нека се опитаме да го извадим от скоби. Работете с всеки член на полинома отделно.

Възможно ли е да се направи (x - 1) от x? Не. Но можете да вземете ("заемам") -x от втория член, а след това можем да вземем нашия корен за скоби: x (x - 1) = x - x.

Възможно ли е да се направи (x - 1) от останалата част от втория член? Не. За да направите това, трябва да вземете нещо от третия член. Трябва да вземете 3x out -7x. Това ще даде: 3x (x - 1) = -3x + 3x.

Тъй като взехме 3x от -7х, третият ни член ще бъде -10x и свободен член на 10. Можете да издържите корена (x - 1)? Да! -10 (x - 1) = -10x + 10.

По този начин, ние повторим членовете на нашия полином, за да направим (x - 1) за родителски полиномни скоби. Нашият преобразуван полином е както следва: x - x - 3x + 3x - 10x + 10 = 0, но това е същото като x - 4x - 7x + 10 = 0.

Изображение, озаглавен фактор, кубична полиномна стъпка 11

6. Ще продължим да разлагаме полиноми чрез свободен член. Премахване (x - 1) от членовете, получени в стъпка 5:

x (x - 1) - 3x (x - 1) - 10 (x - 1) = 0. Този полином може да бъде опростен чрез подаване (x - 1) за общи скоби: (x - 1) (x - 3x - 10) = 0.

Експлодира тук (x - 3x - 10). Това ще доведе до (x + 2) (x - 5).

Изображение, озаглавен фактор, кубична полиномна стъпка 12

7. Корените на първоначалния полином ще бъдат корените на разгънатата му опция. Това може да бъде проверено директно заместване на всеки корен в оригиналния полином.

(x - 1) (x + 2) (x - 5) = 0. Корените ще бъдат: 1, -2 и 5.

Заместител -2 в оригиналния полином: (-2) - 4 (-2) - 7 (-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.

Заместващ 5 до оригиналния полином: (5) - 4 (5) - 7 (5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.

Съвети

Кубичният полином е продукт от три полинома от първата степен или продукта на един полином от първа степен и неоткрития полином от втора степен. В последния случай, след намиране на полином от първа степен - дивизията се използва за получаване на полином от втора степен.
Всички кубични полиноми с рационални валидни корени могат да бъдат разградени. Кубични полиноми на форма X ^ 3 + X + 1, при които ирационалните корени не могат да бъдат разложени върху полиноми с цели числа (рационални) коефициенти. Въпреки че такъв полином може да бъде разложен върху кубичната формула, тя не се разлага като цял полином.