Как да споделяте логаритми: 11 стъпки (с илюстрации)

Действията с логаритми могат да изглеждат доста сложни, но както при електите или полиноми, е необходимо просто да знаете основните правила. Те са доста малко: да разделят логаритмите със същата база или да раздадат логаритъма на частния, е достатъчно да се използват няколко основни свойства на логаритмите.

Стъпка

Метод 1 от 2:

Как да споделяте логаритми ръчно

един. Проверете дали няма отрицателни номера или единица под знака за логаритъма. Този метод е приложим за изразите на формуляра

Дневник Б (Х Чест Дневник Б (А Чест

${Frac {log _ {{b}} (x)} {log _ {{b}} (a)}}$ . Въпреки това, тя не е подходяща за някои специални поводи:

Логаритъмът на отрицателно число не е дефиниран на всяка база (например, $Дневник (- 3 Чест$ или $Дневник 4 (- пет Чест$ $log _ {{4}} (- 5)$ Чест. В този случай пишете "Няма решение".
Логаритъм нула по каквато и да е причина също не е дефиниран. Ако сте хванали $Ln (0 Чест$ , записвам "Няма решение".
Логаритъм единици по някаква причина ( $Дневник (един Чест$ ) винаги равен на нула, защото $Х 0 = един$ $x ^ {{0}} = 1$ За всички ценности Х. Запишете вместо такъв логаритъм 1 и не използвайте метода по-долу.
Ако логаритмите имат различни бази, например $Л О Г 3 (Х Чест Л О Г 4 (А Чест$ ${Frac {log _ {{3}} (x)} {log _ {{4}} (a)}}$ , и не намалява цялото число, стойността на израза не може да бъде намерена ръчно.

Изображение, озаглавено Divide Logarithms Стъпка 2

2. Конвертирате израз на един логаритъм. Ако изразът не се прилага за горепосочените случаи, той може да бъде представен като един логаритъм. Използвайте за това следната формула:

Дневник Б (Х Чест Дневник Б (А Чест = {Дневник}_{А} (Х Чест

${Frac {log _ {{b}} (x)} {log _ {{b}} (a)}} = log _ {{a}} (x)$ .

Пример 1: Помислете за изразяването

Дневник шестнадесет Дневник 2

.
За да започнем, ще изпратим израз във формата на един логаритъм с помощта на горната формула:

Дневник шестнадесет Дневник 2 = {Дневник}_{2} (шестнадесет Чест

${Frac {log {16}} {log {2}}} = log _ {{2}} (16) t$ .

Тази формула "Подмяна на база" Логаритъмът е получен от основните свойства на логаритмите.

Изображение, озаглавено Divide Logarithms Стъпка 3

3. Ако е възможно, изчислете ръчно стойността на израза. Да намеря

Дневник А (Х Чест

$log _ {{a}} (x)$ , Представете си израз "

А ? = Х

$A ^ {{?}} = X$ ", Това е, задайте следния въпрос: "Каква степен трябва да се изгради А, Придобивам Х?". За да отговорите на този въпрос, може да се изисква калкулатор, но ако имате късмет, можете да го намерите ръчно.

Пример 1 (продължение): пренаписване

Дневник 2 (шестнадесет Чест

$Log _ {{2}} (16)$ като

2 ? = шестнадесет

$2 ^ {{?}} = 16$ . Необходимо е да се намери кой номер трябва да стои вместо знак "?". Това може да стане чрез проби и грешки:

22 = 2 * 2 = 4

$2 ^ {{2}} = 2 * 2 = 4$

23 = 4 * 2 = Осем

$2 ^ {{3}} = 4 * 2 = 8$

24 = Осем * 2 = шестнадесет

$2 ^ {{4}} = 8 * 2 = 16$
Така че желаният номер е 4:

Дневник 2 (шестнадесет Чест

$Log _ {{2}} (16)$ = 4.

Изображение, озаглавено Divide Logarithms Стъпка 4

4. Оставете отговора в логаритмична форма, ако не успеете да го опростите. Много логаритми са много трудни за изчисляване ръчно. В този случай, за да получите точен отговор, ще ви е необходим калкулатор. Въпреки това, ако решите задачата в урока, тогава учителят вероятно ще задоволи отговора в логаритмичната форма. По-долу, разглежданият метод се използва за решаване на по-сложен пример:

Пример 2: Какво е равно

Дневник 3 (58 Чест Дневник 3 (7 Чест

${Frac {log _ {{3}} (58)} {log _ {{3}} (7)}}$ ?

Ние превръщаме този израз в един логаритъм:

Дневник 3 (58 Чест Дневник 3 (7 Чест = {Дневник}_{7} (58 Чест

${Frac {log _ {{3}} (58)} {log _ {{3}} (7)}} = log _ {{7}} (58)$ . Моля, обърнете внимание, че основата за двата логаритма ₃ изчезва - това е вярно по някаква причина.

Пренапишете израз във формата

7 ? = 58

$7 ^ {{?}} = 58$ и се опитайте да намерите стойност ?. T

72 = 7 * 7 = 49

$7 ^ {{2}} = 7 * 7 = 49$

73 = 49 * 7 = 343

$7 ^ {{3}} = 49 * 7 = 343$
От 58 години е между тези две числа,

Дневник 7 (58 Чест

$Log _ {{7}} (58)$ не е изразено в цяло число.

Оставете отговор в логаритмична форма:

Дневник 7 (58 Чест

$Log _ {{7}} (58)$ .

Метод 2 от 2:

Как да намерим частен логаритъм

един. Помислете за случая, когато логаритъмът е частна (фракция). Този раздел е посветен на изразите на типа

Дневник А (\frac{Х}{y} Чест

$log _ {{a}} ({frac {x} {y}})$ .

Да предположим, че трябва да решите следната задача:
"Намерете n при което $Дневник 3 (27 6 Н Чест = - 6 - {Дневник}_{3} (6 Чест$ $log _ {{3}} ({frac {27} {6n}}) = - 6- _} {{3}} (6)$ ".

Изображение, озаглавено Divide Logarithms Стъпка 6

2. Проверете дали няма отрицателен брой под знака на логаритъма. Логаритъмът на отрицателно число не е дефиниран. Ако x или y са отрицателни, уверете се, че задачата има решение, преди да продължите с търсенето си:

Ако X или y по-малко нула, задача няма решение.

Ако имаш и двете Числата x и y са отрицателни, намаляват знака за минус:

- Х - y = \frac{Х}{y}

${Frac {-x} {y}} = {frac {x} {y}}$ .

В примера по-горе, няма отрицателни номера под знака на логаритъма, така че можете да преминете към следващата стъпка.

Изображение, озаглавено Divide Logarithms Стъпка 7

3. Разстелете логаритъма на частни на два логаритъма. Друго полезно свойство на логаритмите е описано по следната формула:

Дневник А (\frac{Х}{y} Чест = {Дневник}_{А} (Х Чест - {Дневник}_{А} (y Чест

$log _ {{a}} ({frac {x} {y}}) = log _ {{a}} (x) - log _ {{a}} (Y)$ . С други думи, логаритъмът на личния е винаги равен на разликата между логаритмите на разделението и разделителя.

Използваме тази формула, за да разложим лявата част на равенството:

Дневник 3 (27 6 Н Чест = {Дневник}_{3} (27 Чест - {Дневник}_{3} (6 Н Чест

$Log _ {{3}} ({frac {27} {6n}}) = log _ {{3}} (27) - log _ {{3}} (6N)$

Ние ще заменим изразяването в нашето равенство:

Дневник 3 (27 6 Н Чест = - 6 - {Дневник}_{3} (6 Чест

$log _ {{3}} ({frac {27} {6n}}) = - 6- _} {{3}} (6)$
→

Дневник 3 (27 Чест - {Дневник}_{3} (6 Н Чест = - 6 - {Дневник}_{3} (6 Чест

$Log _ {{3}} (27) - log _ {{3}} (6N) = - 6- t} {{3}} (6)$

Изображение, озаглавено Divide Logarithms Стъпка 8

4. Ако е възможно, опростяване на израза. Ако получените логаритми са представени от цели числа, можете да опростите израза.

В нашия пример се появи нов член:

Дневник 3 (27 Чест

$Log _ {{3}} (27) t$ . От 3 = 27, вместо това

Дневник 3 (27 Чест

$Log _ {{3}} (27) t$ може да бъде заменен 3.

В резултат на това получаваме следния израз:

3 - Дневник 3 (6 Н Чест = - 6 - {Дневник}_{3} (6 Чест

$3- _ _ {{3}} (6n) = - 6- _} {{3}} (6)$

Изображение, озаглавено Divide Logarithms Стъпка 9

пет. Отделна неизвестна стойност. Както при решаването на други алгебрични уравнения, се препоръчва прехвърляне на желаното количество в една посока и всички останали членове са в другата страна на уравнението. В същото време съчетайте подобни членове за опростяване на уравнението.

3 - Дневник 3 (6 Н Чест = - 6 - {Дневник}_{3} (6 Чест

$3- _ _ {{3}} (6n) = - 6- _} {{3}} (6)$

девет - Дневник 3 (6 Н Чест = - {Дневник}_{3} (6 Чест

$9- _ {{3}} (6n) = - log _ {{3}} (6)$

Дневник 3 (6 Н Чест = девет + {Дневник}_{3} (6 Чест

$Log _ {{3}} (6N) = 9 + log _ {{3}} (6)$ .

Изображение, озаглавено Divide Logarithms Стъпка 10

6. Ако е необходимо, използвайте други свойства на логаритмите. В нашия случай неизвестна стойност е под знака на логаритъм. За да го разделите от други членове, трябва да използвате Други свойства на логаритъма.

В нашия пример Н част от композицията

Дневник 3 (6 Н Чест

$Log _ {{3}} (6N)$ .
Да разделя Н, Използваме следното свойство на логаритмите:

Дневник А (Б ° С Чест = {Дневник}_{А} (Б Чест + Дневник А (° С Чест

$log _ {{a}} (bc) = log _ {{a}} (b) + log {a} (c)$

Дневник 3 (6 Н Чест = {Дневник}_{3} (6 Чест + {Дневник}_{3} (Н Чест

$Log _ {{3}} (6N) = log _ {{3}} (6) + log _ {{3}} (n)$

Заменете този размер на логаритмите в нашия израз:

Дневник 3 (6 Н Чест = девет + {Дневник}_{3} (6 Чест

$Log _ {{3}} (6N) = 9 + log _ {{3}} (6)$

Дневник 3 (6 Чест + {Дневник}_{3} (Н Чест = девет + {Дневник}_{3} (6 Чест

$log _ {{3}} (6) + log _ {{3}} (n) = 9 + log _ {{3}} (6)$

Изображение, озаглавено Divide Logarithms Стъпка 11

7. Продължете да опростявате израза, докато не получите отговора. Използвайте за това правило алгебра и свойствата на логаритмите. Ако отговорът не е изразен в цяло число, използвайте калкулатора и около резултата до най-близкия значителен брой.