Как да решават квадратни уравнения

Коравното уравнение се нарича такова уравнение, в което най-голямата стойност на степента на променлива е 2. Има три основни начина за решаване на квадратни уравнения: ако е възможно, разградете квадратното уравнение за мултипликатори, за да използвате коренната формула на квадрата уравнение или да добавите към пълен квадрат. Искам да знам как се прави всичко това? Прочетете.

Стъпка

Метод 1 от 3:

Разлагане на факторите

един. Превъртете подобни елементи и прехвърлете в една част от уравнението. Това ще бъде първата стъпка, стойност

Х 2

$x ^ {2}$ Тя трябва да остане положителна. Сгънете или приспадане на всички стойности

Х 2

$x ^ {2}$ ,

Х

и постоянна, извършена всичко в една част и оставяйки 0 в друг. Така се прави:

$2 Х 2 - Осем Х - 4 = 3 Х - Х^{2}$ $2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}$
$2 Х 2 + Х^{2} - Осем Х - 3 Х - 4 = 0$ $2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0$
$3 Х 2 - единадесет Х - 4 = 0$ $3x ^ {2} -11x-4 = 0$

Изображение, озаглавено решаване на квадратични уравнения стъпка 2

2. Разпространете израза на мултипликатори. За да направите това, използвайте стойности

Х 2

$x ^ {2}$ (3), постоянни стойности (-4), те трябва да се размножават и да образуват -11. Ето как да го направите:

3 Х 2

$3x ^ {2}$ Той има само два възможни фактора:

3 Х

Х

, Така че те могат да бъдат записани в скоби:

(3 Х \pm ? Чест (Х \pm ? Чест = 0

Освен това, заместване на мултипликатори 4, ще намерим комбинация, когато умножаването им дава -11x. Можете да използвате комбинация от 4 и 1, или 2 и 2, тъй като и двете дава 4. Не забравяйте, че стойностите трябва да са отрицателни, защото ние сме -4.

Проби и грешка получавате комбинация

(3 Х + един Чест (Х - 4 Чест

. Когато се умножим, получаваме

3 Х 2 - 12 Х + Х - 4

$3x ^ {2} -12x + x-4$ . Връзка

- 12 Х

Х

, Получаваме средния петел

- единадесет Х

, които търсихме. Коравното уравнение се разлага върху мултипликатори.

Например, опитайте неподходящата комбинация: (

(3 Х - 2 Чест (Х + 2 Чест

3 Х 2 + 6 Х - 2 Х - 4

$3x ^ {2} + 6x-2x-4$ . Чрез комбиниране, получаваме

3 Х 2 - 4 Х - 4

$3x ^ {2} -4x-4$ . Въпреки че има мултипликатори -4 и 2 с умножение - 4, средният член не се вписва, защото искахме да получим

- единадесет Х

, но не

- 4 Х

Изображение, озаглавено решаване на квадратични уравнения стъпка 3

3. Приравняват всеки израз в скоби до нула (като отделни уравнения). Така че ще намерим две значения

Х

, при което цялото уравнение е нула,

(3 Х + един Чест (Х - 4 Чест

= 0. Сега остава да се равнява на нула всяка от изразите в скоби. Защо? Факт е, че работата е равна на нула, когато поне един от мултипликателите е нула. Като

(3 Х + един Чест (Х - 4 Чест

се равнява на нула, след това или (3x + 1), или (x - 4) е нула. Записвам

3 Х + един = 0

Х - 4 = 0

Изображение, озаглавено решаване на квадратични уравнения Стъпка 4

4. Решават всяко уравнение поотделно. В квадратното уравнение X има две стойности. Решете уравнения и запишете стойностите на x:

Решете уравнение 3x + 1 = 0

3x = -1 ..... чрез изваждане

3x / 3 = -1/3 ..... от Дивизия

x = -1/3 ..... След опростяване

Решете уравнението x - 4 = 0

x = 4 ..... чрез изваждане

x = (-1/3, 4)..... Възможни стойности, т.е. x = -1/3 или x = 4.

Изображение, озаглавено решаване на квадратични уравнения стъпка 5

пет. Проверете x = -1/3, замествайки тази стойност в (3x + 1) (x - 4) = 0:

(3 [-1/3] + 1) ([- 1/3] - 4) ?=? 0 ..... чрез заместване

(-1 + 1) (- 4 1/3) ?=? 0 ..... След опростяване

(0) (- 4 1/3) = 0 ..... След умножаване

0 = 0, следователно, x = -1/3 - правилния отговор.

Изображение, озаглавено решаване на квадратични уравнения Стъпка 6

6. Проверете x = 4, заместване на тази стойност в (3x + 1) (x - 4) = 0:

(3 [4] + 1) ([4] - 4) ?=? 0 ..... чрез заместване

(13) (4 - 4) ?=? 0 ..... След опростяване

(13) (0) = 0 ..... След умножаване

0 = 0, следователно, x = 4 - правилния отговор.

Така и двете решения са верни.

Метод 2 от 3:

Използването на корена на квадратното уравнение

един. Комбинирайте всички членове и запишете уравнението от едната страна. Запазете стойността

Х 2

$x ^ {2}$ положителен. Запишете членовете, за да намалите степените, така че член

Х 2

$x ^ {2}$ Първо

Х

И след това постоянен:

4x - 5x - 13 = x -5
4x - X - 5X - 13 +5 = 0
3x - 5x - 8 = 0

Изображение, озаглавено решаване на квадратични уравнения стъпка 8

2. Запишете коренната формула на квадрата уравнение. Формулата има следната форма:

- Б \pm \sqrt{Б} 2 - 4 А ° С 2 А

${Frac {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}$

Изображение, озаглавено решаване на квадратични уравнения стъпка 9

3. Определят стойностите на a, b и c в квадратното уравнение. Променлива А - Коефициент на член X, Б - Член X, ° С - постоянен. За уравнение 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5 и c = -8. Да го напишеш.

Изображение, озаглавено решаване на квадратични уравнения стъпка 10

4. Съгласуване на стойностите A, B и C до уравнението. Знаейки стойностите на три променливи, можете да ги замените на уравнението, както следва:

{-b +/- √ (B - 4AC)} / 2

{- (- 5) +/- √ ((-5) - 4 (3) (- 8))} / 2 (3) =

{- (- 5) +/- √ ((-5) - (-96))} / 2 (3)

Изображение, озаглавено решаване на квадратични уравнения стъпка 11

пет. Броя. Заместване на значенията, опростяване на плюсовете и минусите, умножете или изправете останалите членове:

{- (- 5) +/- √ ((-5) - (-96))} / 2 (3) =

{5 +/- √ (25 + 96)} / 6

{5 +/- √ (121)} / 6

Изображение, озаглавено решаване на квадратни уравнения стъпка 12

6. Опростяване на квадратен корен. Ако номерът под знака на квадратен корен - квадрат, ще получите цяло число. Ако не, опростете го до най-простата стойност на root. Ако номерът е отрицателен, И сте сигурни, че тя трябва да бъде отрицателна, Тогава корените ще бъдат сложни. В този пример, √ (121) = 11. Можете да запишете този x = (5 +/- 11) / 6.

Изображение, озаглавено решаване на квадратични уравнения стъпка 13

7. Намерете положителни и отрицателни решения. Ако сте изтрили квадратни корен знак, можете да продължите, докато не намерите положителни и отрицателни стойности x. Като (5 +/- 11) / 6, можете да напишете:

(5 + 11) / 6

(5 - 11) / 6

Изображение, озаглавено решаване на квадратични уравнения стъпка 14

Осем. Намерете положителни и отрицателни стойности. Просто пребройте:

(5 + 11) / 6 = 16/6

(5-11) / 6 = -6/6

Изображение, озаглавено решаване на квадратни уравнения Стъпка 15

девет. Опростяване. За това просто разделете както за най-големия общ делител. Първата фракция е разделена на 2, втората до 6, x намерена.

16/6 = 8/3

-6/6 = -1

x = (-1, 8/3)

Метод 3 от 3:

Допълнение към пълен квадрат

един. Прехвърляне на всички членове в едната страна на уравнението. А или x трябва да бъде положителен. Това се прави така:

2x - 9 = 12x =
2x - 12x - 9 = 0

В това уравнение А: 2, Б: -12,° С: -Nine.

Изображение, озаглавено решаване на квадратични уравнения стъпка 17

2. Прехвърляне на пенис ° С (постоянен) от другата страна. Постоянен е член на уравнението, съдържащо само цифрова стойност без променливи. Прехвърлете го от дясната страна:

2x - 12x - 9 = 0

2x - 12x = 9

Изображение, озаглавено решаване на квадратични уравнения Стъпка 18

3. Разделете двете части на коефициента А или X. Ако x няма коефициент, тогава е равно на един и тази стъпка може да бъде пропусната. В нашия пример всички членове се разделят 2:

2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =

X - 6x = 9/2

Изображение, озаглавено решаване на квадратични уравнения стъпка 19

4. Разделям Б На 2, вземете квадратчето и добавете към двете страни. В нашия пример Б равен на -6:

-6/2 = -3 =

(-3) = 9 =

X - 6X + 9 = 9/2 + 9

Изображение, озаглавено решаване на квадратични уравнения стъпка 20

пет. Сходни и двете страни. Рано членовете на ляво и се оказват (x-3) (x-3), или (x-3). Сгънете членовете вдясно и вземете 9/2 + 9, или 9/2 + 18/2, което е 27/2.

Изображение, озаглавено решаване на квадратични уравнения стъпка 21

Отстранете квадратния корен от двете части. Квадратният корен от (X-3) е просто равен (x-3). Квадратният корен от 27/2 може да бъде написан като ± √ (27/2). Така, X - 3 = ± √ (27/2).

Изображение, озаглавено решаване на квадратични уравнения стъпка 22

Опростяване на експресията за хранене и намерете X. За да се опростят ± √ (27/2), намерете пълен квадрат в цифри 27 и 2 или техните множители. В 27 има пълен квадрат 9, защото 9 x 3 = 27. За да донесете 9 от корена, извадете корена от него и извадете 3 от коренния знак. Оставете 3 в цифрите на фракциите под коренния знак, тъй като този мултипликатор не може да бъде научен, а също така да остави 2 по-долу. След това прехвърлете постоянната 3 от лявата част на уравнението вдясно и запишете два решения за X:

x = 3 + (√6) / 2

x = 3 - (√6) / 2)

Съвети

Ако номерът под корена не е пълен квадрат, тогава последните няколко стъпки се изпълняват малко по различен начин. Ето един пример:
Както виждате, коренният знак не изчезне. Такъв образ на членовете на членовете на цифри не може да бъде комбиниран. Тогава няма смисъл да се прекъсва плюс или минус. Вместо това, ние разделяме всички общи множители - но само Ако мултипликатът е често срещан за постоянно и Корен коефициент.