Как да решавате задачи с градуси

Степента се използва за опростяване на записа на умножаването на броя на себе си. Например, вместо записване $4 * 4 * 4 * 4 * 4$ може да бъде написано $4 пет$ $4 ^ {5}$ (Обяснение на този преход е дадено в първия раздел на настоящия член). Степените правят възможно опростяването на дълги или сложни изрази или уравнения също лесно сгънати и изваждат, което води до опростяване на експресията или уравнението (например, $42 * 4^{3} = 4^{пет}$ $4 ^ {2} * 4 ^ {3} = 4 ^ {5}$ Чест.

Забележка: Ако трябва да разрешите индикативното уравнение (в това уравнение, неизвестното е в индикатор за степента), прочетете тази статия.

Стъпка

Метод 1 от 3:

Решение на най-простите задачи с градуси

един. Терминология. Например, като се има предвид степен

23

$2 ^ {3}$ . Тук 2 е Фондация, и 3 Експонентен. Номер

23

$2 ^ {3}$ Подобно на това: две в третата степен или две в Куба.

Ако цифрата присъства 2, например, $пет 2$ $5 ^ {2}$ , Тогава такъв индикатор се нарича Квадрат, Това означава, че нашият пример е озвучен като този: пет в квадрат.
Ако цифрата присъства 3, например, $103$ $10 ^ {3}$ , Тогава такъв индикатор се нарича Куба, Това е, нашият пример е озвучен като този: десет в Куба.
Ако номерът няма индикатор за степента, това означава, че цифрата е равна на 1. Например, $4 = 4 един$ $4 = 4 ^ {1}$ .
Всеки номер (фракция, изразяване), издигната до нулева степен, равна на 1, която е $40 = един$ $4 ^ {0} = 1$ или $(3 / Осем {Чест}^{0} = един.$ $(3/8) ^ {0} = 1$ Повече информация можете да намерите в раздела "Съвети".

Изображение, озаглавено решаване на експонати стъпка 2

2. Умножете основата на самата степен по броя пъти, равен на индикатора на степента. Ако е необходимо ръчно да решите задачата с градуса, пренапишете степента под формата на операция за умножение, където основата на степента се умножава сама по себе си. Например, като се има предвид степен

34

$3 ^ {4}$ . В този случай основата на степен 3 трябва да се умножи сама по себе си 4 пъти:

3 * 3 * 3 * 3

. Ето и други примери:

4 пет = 4 * 4 * 4 * 4 * 4

$4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4$

Осем 2 = Осем * Осем

$8 ^ {2} = 8 * 8$

Десет в Куба

= 10 * 10 * 10

Изображение, озаглавено решаване на експонатите стъпка 3

3. Да започнете да умножите първите две числа. Например,

4 пет

$4 ^ {5}$ =

4 * 4 * 4 * 4 * 4

. Не се притеснявайте - процесът на изчисляване не е толкова сложен, колкото изглежда на пръв поглед. Първо умножете първите две четири и след това ги заменете с резултата. Като този:

4 пет = 4 * 4 * 4 * 4 * 4

$4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4$

4 * 4 = шестнадесет

$4 пет = шестнадесет * 4 * 4 * 4$ $4 ^ {5} = 16 * 4 * 4 * 4$

Изображение, озаглавено решаване на експонентите стъпка 4

4. Умножете резултата (в нашия пример 16) към следния номер. Всеки следващ резултат ще бъде пропорционално увеличен. В нашия пример, умножете 16 до 4. Като този:

4 пет = шестнадесет * 4 * 4 * 4

$4 ^ {5} = 16 * 4 * 4 * 4$

шестнадесет * 4 = 64

$4 пет = 64 * 4 * 4$ $4 ^ {5} = 64 * 4 * 4$

64 * 4 = 256

$4 пет = 256 * 4$ $4 ^ {5} = 256 * 4$

256 * 4 = 1024

Продължете да умножите резултата от умножаването на първите две номера към следващия номер, докато получите окончателния отговор. За да направите това, променете първите две числа, а след това резултатът се умножи по следващия номер в последователността. Този метод е валиден за всяка степен. В нашия пример трябва да получите: $4 пет = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024$ $4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024$ .

Изображение, озаглавено решаване на експонентите стъпка 5

пет. Решете следните задачи. Проверете проверката с калкулатора.

Осем 2

$8 ^ {2}$

34

$3 ^ {4}$

107

$10 ^ {7}$

Изображение, озаглавено решаване на експонентите стъпка 6

6. На калкулатора намерете ключа, посочен като "exp", или "ХН{dispresstyle x ^ {n}} $x ^ {n}$ ", Или" ^ ". С този ключ ще повишите номера до степен. Изчислете степента с голям показател ръчно невъзможен (например степен

девет Петнадесет години

$9 ^ {{15}}}$ ), но калкулаторът лесно се справя с тази задача. В Windows 7 стандартният калкулатор може да бъде превключен в инженерния режим - за това клик "Изглед" -> "Инженеринг". За да превключите в нормален режим, щракнете върху "Изглед" -> "Нормално".

Проверете отговора, получен от Google. Възползвайки се от клавиша "^" на клавиатурата на компютъра, въведете израза в търсачката, която незабавно показва правилния отговор (и може да предложи подобни изрази за обучение).

Метод 2 от 3:

Добавяне, изваждане, умножение на градуси

един. Да сгънете и приспадате степените само ако имат същите основи. Ако трябва да добавите градуси със същите основи и индикатори, тогава можете да замените операцията на добавяне на операция за умножение. Например изразът е даден

4 пет + 4^{пет}

$4 ^ {5} + 4 ^ {5}$ . Не забравяйте, че степента

4 пет

$4 ^ {5}$ може да бъде представен като

един * 4 пет

$1 * 4 ^ {5}$ - по този начин,

4 пет + 4^{пет} = един * 4^{пет} + един * 4^{пет} = 2 * 4^{пет}

$4 ^ {5} + 4 ^ {5} = 1 * 4 ^ {5} + 1 * 4 ^ {5} = 2 * 4 ^ {5}$ (където 1 +1 = 2). Това е, помислете за броя на подобни степени и след това умножете такава степен и това е номерът. В нашия пример сложни 4 в петата степен и след това резултатът се умножава с 2. Не забравяйте, че операцията с добавяне може да бъде заменена чрез функция за умножение, например,

3 + 3 = 2 * 3

. Ето и други примери:

$32 + 3^{2} = 2 * 3^{2}$ $3 ^ {2} + 3 ^ {2} = 2 * 3 ^ {2}$
$4 пет + 4^{пет} + 4^{пет} = 3 * 4^{пет}$ $4 ^ {5} + 4 ^ {5} + 4 ^ {5} = 3 * 4 ^ {5}$
$4 пет - 4^{пет} + 2 = 2$ $4 ^ {5} -4 ^ {5} + 2 = 2$
$4 Х 2 - 2 Х^{2} = 2 Х^{2}$ $4x ^ {2} -2x ^ {2} = 2x ^ {2}$

Изображение, озаглавено решаване на експонати стъпка 8

2. Когато умножават степени със същата база, техните индикатори са сгънати (основата не се променя). Например изразът е даден

Х 2 * Х^{пет}

$x ^ {2} * x ^ {5}$ . В този случай просто трябва да сгънете показателите, оставяйки основата непроменена. По този начин,

Х 2 * Х^{пет} = Х^{7}

$x ^ {2} * x ^ {5} = x ^ {7}$ . Ето визуално обяснение на това правило:

Х 2 * Х^{пет}

$x ^ {2} * x ^ {5}$

Х 2 = Х * Х

$x ^ {2} = x * x$

Х пет = Х * Х * Х * Х * Х

$x ^ {5} = x * x * x * x * x$

Х 2 * Х^{пет} = (Х * Х Чест * (Х * Х * Х * Х * Х Чест

$x ^ {2} * x ^ {5} = (x * x) * (x * x * x * x * x)$

Тъй като основата се умножава сама по себе си, можем да изпратим това в следния формуляр:

Х 2 * Х^{пет} = Х * Х * Х * Х * Х * Х * Х

$x ^ {2} * x ^ {5} = x * x * x * x * x * x * x$

$Х 2 * Х^{пет} = Х^{7}$ $x ^ {2} * x ^ {5} = x ^ {7}$

Изображение, озаглавено решаване на експонати стъпка 9

3. Когато степента се повиши в степента, индикаторите са променливи. Например, като се има предвид степен

(Х 2 {Чест}^{пет}

$(x ^ {2}) ^ {5}$ . Тъй като показателите на степента са променливи, тогава

(Х 2 {Чест}^{пет} = Х^{2 * пет} = Х^{10}

$(x ^ {2}) ^ {5} = x ^ {{2 * 5}} = x ^ {{10}}$ . Значението на това правило е, че умножете степента

(Х 2 Чест

$(x ^ {2})$ Само за себе си пет пъти. Като този:

(Х 2 {Чест}^{пет}

$(x ^ {2}) ^ {5}$

(Х 2 {Чест}^{пет} = Х^{2} * Х^{2} * Х^{2} * Х^{2} * Х^{2}

$(x ^ {2}) ^ {5} = x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2}$

Тъй като основата е еднаква, индикаторите на степента просто се получават: $(Х 2 {Чест}^{пет} = Х^{2} * Х^{2} * Х^{2} * Х^{2} * Х^{2} = Х^{10}$ $(x ^ {2}) ^ {5} = x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} = x ^ {{10}}$

Изображение, озаглавено решаване на експонентите стъпка 10

4. Степента с отрицателен индикатор трябва да се преобразува в фракция (в обратната страна). Не е проблем, ако не знаете какво обратно. Ако ви бъде дадена степен с отрицателен индикатор, например,

3 - 2

$3 ^ {{- 2}}$ , Запишете тази степен в знаменател на панталоните (в числителя, място 1) и направете показателя положителен. В нашия пример:

\frac{един}{3} 2

${Frac {1} {3 ^ {2}}}$ . Ето и други примери:

пет - 10 = \frac{един}{пет} 10

$5 ^ {{- 10}} = {frac {1} {5 ^ {{{10}}}}$

3 Х - 4 = \frac{3}{Х} 4

$3x ^ {{- 4}} = {frac {3} {x ^ {4}}}$

Изображение, озаглавено решаване на експонатите стъпка 11

пет. Когато се разделят степените със същата база, техните показатели се приспадат (основата не се променя). Операцията по разделяне е обратното на операцията по умножение. Например изразът е даден

44 4^{2}

${Frac {4 ^ {4}} {4 ^ {2}}}$ . Отстранете индикатора на степента в знаменателя, от индикатора на степента, която стои в числителя (не променяйте основата). По този начин,

44 4^{2} = 4^{4 - 2} = 4^{2}

${Frac {4 ^ {4}} {4 ^ {2}}} = 4 ^ {{4-2}} = 4 ^ {2}$ = шестнадесет.

Степента, обърната към знаменателя, може да бъде написана в този формуляр:

\frac{един}{4} 2

${Frac {1} {4 ^ {2}}}$ =

4 - 2

$4 ^ {{- 2}}$ . Не забравяйте, че фракцията е число (степен, изразяване) с отрицателен индикатор на степента.

Изображение, озаглавено решаване на експонати стъпка 12

6. По-долу са някои изрази, които ще ви помогнат да се научите да решавате задачи с градуси. Тези изрази покриват материала, посочен в този раздел. За да видите отговора, просто подчертайте празното пространство след знака за равенство.

пет 3

$5 ^ {3}$ = 125

22 + 2^{2} + 2^{2}

$2 ^ {2} + 2 ^ {2} + 2 ^ {2}$ = 12

Х един 2 - 2 Х^{един} 2

$x ^ {1} 2-2x ^ {1} 2$ = -x ^ 12

y 3 * y

$y ^ {3} * y$ =

y 4

$y ^ {4}$ Не забравяйте, че всеки номер е степен с индикатор 1

(Q 3 {Чест}^{пет}

$(Q ^ {3}) ^ {5}$ =

Q един пет

$Q ^ {1} 5$

R пет R^{2}

${Frac {r ^ {5}} {r ^ {2}}}$ =

R 3

$R ^ {3}$

Метод 3 от 3:

Решаване на задачи с частични показатели

един. Степен с фракционен индикатор (например, Хедин2{displessstyle x ^ {frac {1} {2}}} $X ^ {{{frac {1} {2}}}}$ ) се превръща в извличането на корена. В нашия пример:

Х \frac{един}{2}

$X ^ {{{frac {1} {2}}}}$ =

\sqrt{Х}

. Тук няма значение, какъв номер е в знаменателя на фракционния индикатор на степента. Например,

Х \frac{един}{4}

$X ^ {{{frac {1} {4}}}}$ - Това е коренът на четвъртата степен от "X", т.е

Х 4

Работата на извличането на root се завръща във връзка с операцията по упражняване. Например, ако коренът $Х 4$ Изградете четвърта степен, след това ще получите "X", както и $шестнадесет 4 = 2$ Можете да проверите, както следва: $24 = шестнадесет$ $2 ^ {4} = 16$ . Друг пример: ако $Х 4 = 2$ , тогава $24 = Х$ $2 ^ {4} = x$ - по този начин, $Х = 2$ .

Изображение, озаглавено решаване на експонати стъпка 14

2. Ако индикаторът е неправилна фракция, тогава такава степен може да бъде разложена за две степени, за да се опрости решението на проблема. Няма нищо сложно в това - просто помнете правилото за умножение по степени. Например, като се има предвид степен

Х \frac{пет}{3}

$X ^ {{{frac {5} {3}}}}$ . Обърнете такава степен в корена, степента на която ще бъде равна на знаменателя на фракционния индикатор и след това вземете този корен в степента, равна на номера на сплит. Да го направя, не забравяйте това

\frac{пет}{3}

(\frac{един}{3} Чест * пет

. В нашия пример:

Х \frac{пет}{3}

$X ^ {{{frac {5} {3}}}}$

Х \frac{пет}{3} = Х^{пет} * Х^{\frac{един}{3}}

$x ^ {{{frac {5} {3}}}} = x ^ {5} * x ^ {{{frac {1} {3}}}}$

Х \frac{един}{3} = Х 3

$x ^ {{{frac {1} {3}}}} = {sqrt [{3}] {x}}$

Х \frac{пет}{3} = Х^{пет} * Х^{\frac{един}{3}}

$x ^ {{{frac {5} {3}}}} = x ^ {5} * x ^ {{{frac {1} {3}}}}$ = $(Х 3 {Чест}^{пет}$ $({Sqrt [{3}] {x}}) ^ {5}$

Изображение, озаглавено решаване на експонати стъпка 15

3. Пътища, изваждане и удължени частични индикатори за общи правила. По-лесно е да добавите и приспадате частични индикатори, преди да конвертирате степени в корените или в цифри. Ако стените са дадени със същите основи и индикатори, те развиват и приспадат под общите правила. Ако степените са дадени само със същите бази, можете да ги размножавате и да ги разделяте (само ако си спомняте Правила за добавяне и изваждане на фракцииЧест. Например:

Х \frac{пет}{3} + Х^{\frac{пет}{3}} = 2 (Х^{\frac{пет}{3}} Чест

$X ^ {{{frac {5} {3}}}} + x ^ {{{frac {5} {3}}}} = 2 (x ^ {{{frac {5} {3}} }})$

Х \frac{пет}{3} * Х^{\frac{2}{3}} = Х^{\frac{7}{3}}

$X ^ {{{frac {5} {3}}}} * x ^ {{{frac {2} {3}}}} = x ^ {{{frac {7}}}$

Съвети

Опростяването на изразяването е да го приведе в такава форма (използвайки изпълнението на математическите операции), което е по-лесно да се реши.
На някои калкулатори има бутон за изчисляване на градуса (първо трябва да влезете в основата, след това натиснете бутона и след това въведете индикатора). Той се обозначава като ^ или x ^ y.
Не забравяйте, че всеки номер в първа степен е еднакво за себе си, например, $4 един = 4.$ $4 ^ {1} = 4$ Освен това всеки брой, умножени или разделени от един, е равен на себе си, например, $пет * един = пет$ и $пет / един = пет$ .
Знайте, че степента 0 не съществува (тази степен няма решение). Когато се опитвате да решите такава степен на калкулатора или на компютъра, ще получите грешка. Но не забравяйте, че всеки номер в нула е равен на 1, например, $40 = един.$ $4 ^ {0} = 1$
В най-висшата математика, която работи с въображаеми числа: $Д А I Х = ° С О С А Х + I С I Н А Х$ $E ^ {a} ix = cosax + Isinax$ , където $I = \sqrt{(} - един Чест$ - E - постоянен, приблизително равен на 2.7- и - произволна константа. Доказателство за това равенство може да бъде намерено във всеки учебник по висша математика.

Предупреждения

С увеличаване на показателя за степента, стойността му се увеличава. Така че, ако отговорът ви е наред, всъщност той може да бъде верен. Можете да го проверите, като изградите график на всяка индикативна функция, например 2.